Hvad fortæller skalarproduktet af to vektorer?

Skalarproduktet fortæller i ét tal, hvor meget to vektorer peger samme vej: Det er de to længder ganget med hinanden og med cosinus til vinklen mellem dem. Under 90° er det positivt, ved en ret vinkel 0 og derover negativt. For ⟨2; 6⟩ og ⟨3; −1⟩ er det 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, så de står vinkelret på hinanden. I spillet går hver koordinat fra 1 til 9, så skalarproduktet er altid positivt.

Hvordan omregner man polære koordinater til retvinklede?

For at få retvinklede koordinater ganger du længden r med cos θ for x og med sin θ for y. Polære koordinater angiver et punkt med en afstand og en vinkel, retvinklede med et skridt til siden og et skridt op. Med r = 12 og θ = 30° er y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Spillet bruger lige tal som r og vinkler, hvis sinus eller cosinus er 0, ½ eller 1, nogle gange negativ, så resultatet bliver et helt tal.

Findes der et trick til hurtigt at finde en vektors længde?

Det hurtigste trick er at genkende det pythagoræiske tripel bag vektoren: tre hele tal, hvor kvadraterne på de to første tilsammen giver kvadratet på det tredje. Spillet bygger alle vektorer af kun fem tripler, fx 5, 12 og 13 eller 8, 15 og 17, eller af et multiplum af dem. Derfor er ⟨16; 12⟩ fire gange ⟨4; 3⟩, og længden er 4 × 5 = 20.

Hvorfor er min x-koordinat negativ?

Et negativt x er det rigtige svar, når vinklen er over 90°, for så peger pilen til venstre for sit startpunkt. Da cos 120° = −½, giver r = 8 og θ = 120° x = 8 × (−½) = −4, og ved 180° er x minus hele længden. Tast det med minustasten. Her bliver y aldrig negativ, fordi ingen vinkel går over 180°.

Er dette matematikspil om vektorer gratis, og hvordan bruger man det i klassen?

Ja, alle tre vektorniveauer er gratis i enhver browser, og ingen skal oprette en konto eller installere noget. Spørg som opvarmning, hvor mange pile med hele koordinater der er præcis 13 lange. Eleverne leder i par, fx ⟨5; 12⟩ og ⟨−13; 0⟩, til alle 12 er fundet; tegnet fra samme punkt ligger spidserne på en cirkel. Med skoleabonnementet betaler læreren pr. elev og ser på et dashboard, hvem der bliver bedre.

Matematiktræning · genopfundet

Spil med vektorer

I dette matematikspil om vektorer kommer pilene som talpar som ⟨24; 7⟩ eller som en længde og en vinkel, og hvert svar er et helt tal fra −24 til 162. Bliv først færdig, så slår din kæmper til, mens din modstander stadig kvadrerer og lægger sammen.

Alder 4–99+ · ingen download · spilles i din browser · 23 sprog

Vælg dit niveau ▸

Hvad er en vektor?

En vektor er en størrelse med både længde og retning, tegnet som en pil. En vind på 20 km/h er bare en fart, indtil du siger, at den blæser mod nord; så er det en vektor. To pile er den samme vektor, når de er lige lange og peger samme vej, uanset hvor de starter.

Alle niveauer i Vektorer

Eksempel: længden af ⟨24; 7⟩

De lodrette streger omkring ⟨24; 7⟩ spørger efter længden: Pilen går 24 til siden og 7 op.
Gang hver koordinat med sig selv: 24 × 24 = 576 og 7 × 7 = 49.
Læg de to kvadrater sammen til 625, og find det tal, der ganget med sig selv giver 625: Det er 25.
Pilen er 25 lang, lidt mere end de 24 til siden, så du taster 25.

Lær det trin for trin

En vektor ⟨x, y⟩ er en pil: gå x skridt hen og y skridt op. Dens længde er bare, hvor LANG den pil er, målt direkte fra start til spids.

Da hen-skridtet og op-skridtet danner en ret vinkel, er pilen hypotenusen i en retvinklet trekant — så dens længde er √(x² + y²), Pythagoras' sætning. For ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (De er udvalgt, så længden altid kommer ud som et helt tal.)

Sæt hver del i anden, læg sammen, tag kvadratroden, og tast længden.

Tips og typiske fejl

Forestil dig θ = 0°: Pilen ligger fladt på x-aksen, så x er hele længden r. Da cos 0° = 1, hører x sammen med cos og y med sin.
En almindelig fejl er at lægge de to koordinater sammen: ⟨12; 9⟩ er ikke 21 lang, for den lige pil skærer hjørnet. Regn i stedet 144 + 81 = 225, og √225 = 15.
Øv vektoraddition på gulvet: Gå 6 fliser, drej en ret vinkel, gå 8, altså ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. En snor tilbage til start måler 10 fliser.

Sådan spiller du

Vektorerne kommer på skærmen i tre former: |⟨21; 20⟩| spørger efter en længde, 29; r=10, θ=120°, x=? vil have −5 med minustasten; ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ vil have et skalarprodukt, 39. Tast hvert helt tal på tastaturet før din modstander, og Chili slår hårdere, jo tidligere dit svar lander.

— Hurtige svar —

Vektorer: den korte FAQ

Hvad fortæller skalarproduktet af to vektorer?: Skalarproduktet fortæller i ét tal, hvor meget to vektorer peger samme vej: Det er de to længder ganget med hinanden og med cosinus til vinklen mellem dem. Under 90° er det positivt, ved en ret vinkel 0 og derover negativt. For ⟨2; 6⟩ og ⟨3; −1⟩ er det 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, så de står vinkelret på hinanden. I spillet går hver koordinat fra 1 til 9, så skalarproduktet er altid positivt.
Hvordan omregner man polære koordinater til retvinklede?: For at få retvinklede koordinater ganger du længden r med cos θ for x og med sin θ for y. Polære koordinater angiver et punkt med en afstand og en vinkel, retvinklede med et skridt til siden og et skridt op. Med r = 12 og θ = 30° er y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Spillet bruger lige tal som r og vinkler, hvis sinus eller cosinus er 0, ½ eller 1, nogle gange negativ, så resultatet bliver et helt tal.
Findes der et trick til hurtigt at finde en vektors længde?: Det hurtigste trick er at genkende det pythagoræiske tripel bag vektoren: tre hele tal, hvor kvadraterne på de to første tilsammen giver kvadratet på det tredje. Spillet bygger alle vektorer af kun fem tripler, fx 5, 12 og 13 eller 8, 15 og 17, eller af et multiplum af dem. Derfor er ⟨16; 12⟩ fire gange ⟨4; 3⟩, og længden er 4 × 5 = 20.
Hvorfor er min x-koordinat negativ?: Et negativt x er det rigtige svar, når vinklen er over 90°, for så peger pilen til venstre for sit startpunkt. Da cos 120° = −½, giver r = 8 og θ = 120° x = 8 × (−½) = −4, og ved 180° er x minus hele længden. Tast det med minustasten. Her bliver y aldrig negativ, fordi ingen vinkel går over 180°.
Er dette matematikspil om vektorer gratis, og hvordan bruger man det i klassen?: Ja, alle tre vektorniveauer er gratis i enhver browser, og ingen skal oprette en konto eller installere noget. Spørg som opvarmning, hvor mange pile med hele koordinater der er præcis 13 lange. Eleverne leder i par, fx ⟨5; 12⟩ og ⟨−13; 0⟩, til alle 12 er fundet; tegnet fra samme punkt ligger spidserne på en cirkel. Med skoleabonnementet betaler læreren pr. elev og ser på et dashboard, hvem der bliver bedre.

Mere matematik at mestre

Klar til at gå i kamp?

Spil gratis ▸