Hvad er en geometrisk række?

En geometrisk række lægger led sammen, hvor hvert led fås ved at gange det forrige med samme tal, kvotienten q. I 3 + 6 + 12 + 24 er kvotienten 2 og summen 45. Med første led a, kvotient q og n led er summen a(qⁿ − 1)/(q − 1), her altså 3 × 15/1 = 45. Spillets geometriske niveau bruger det enkleste tilfælde: 1 + 2 + 4 + ⋯, med kvotient 2.

Hvordan finder man summen af en differensfølge?

Summen af en differensfølge findes ud fra tre oplysninger: første led, sidste led og antallet af led. Mangler det sidste, bygger du det ud fra differensen d, det faste spring mellem leddene: aₙ = a₁ + (n − 1)d. For 4 + 7 + 10 + ⋯ med 10 led er det sidste 4 + 9 × 3 = 31, så summen er halvdelen af 10 × 35: 175.

Hvordan husker man rækken for eˣ?

Husk den som par, der passer sammen: Hver potens af x står over fakulteten af samme tal. Altså er eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, hvor n!, udtalt »n fakultet«, er 1 × 2 × ⋯ × n. Leddet med x⁵ står derfor over 5! = 120. Sætter du x = 1, giver leddene selve tallet e, cirka 2,72.

Hvorfor tæller man forkert, når man finder antallet af led?

Mange elever dividerer afstanden med springet og glemmer at tælle det første led med. Fra 5 til 50 i spring på 3 er der 15 spring, fordi 50 − 5 = 45 rummer 15 treere, men der er 16 led. Tænk på pæle i et hegn: 15 mellemrum kræver 16 pæle. Derfor har 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 led og summen 440, ikke 412,5.

Hvordan kan en lærer starte en time om rækker med spillet, og er det gratis?

Du kan starte med et kapløb ved tavlen, og spillet koster intet: Hvert niveau åbner i browseren uden login eller download. Som øvelse i aritmetiske rækker skriver du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ og lader klassen råbe hver delsum: 1; 4; 9; 16; 25. Når eleverne ser kvadrattallene, spørger du efter summen af de første 30 ulige tal: 900. Med skoleabonnementet, prissat per elev, viser et dashboard, hvem der bliver bedre til summer.

Matematiktræning · genopfundet

Spil med rækker og summer

I denne udfordring med rækker og summer lægger du op til 40 led fra en differensfølge sammen på én gang, og øverst venter rækken for e^x, hvor x⁷ står over 5040. At lægge led for led sammen er for langsomt her: Den første rigtige sum sender din kæmper i angreb.

Alder 4–99+ · ingen download · spilles i din browser · 23 sprog

Vælg dit niveau ▸

Hvad er en række i matematik?

En række er summen af en talfølge: tallene i en ordnet liste, kaldet led, lagt sammen til ét tal. Følgen 3; 5; 7; 9 har fire led, men rækken 3 + 5 + 7 + 9 er ét enkelt tal, 24. Rækker kan være korte, lange eller endda uendelige, og ofte giver en formel summen, uden at man lægger hvert led sammen.

Alle niveauer i Series

Eksempel: 1 + 2 + 4 + ⋯ med 5 led

Hvert led er det dobbelte af det forrige, så de fem led er 1, 2, 4, 8 og 16.
Læg dem sammen ét ad gangen: 1 + 2 = 3, så 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 og 15 + 16 = 31.
Tjek med genvejen for dette mønster: 2⁵ = 32, og summen er én mindre, 31.
Summen er 31, så du skriver 31 på tastaturet.

Lær det trin for trin

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Tips og typiske fejl

For at lægge 1 + 2 + ⋯ + n sammen ganger du n med det næste tal og halverer: For 1 + 2 + ⋯ + 12 er 12 × 13 = 156, og halvdelen er 78.
En typisk fejl er at lede efter differensen mellem leddene. Med a₁ = 15, aₙ = 44 og n = 6 er den 5,8, men summen er bare halvdelen af 6 × 59: 177.
Udfordr nogen til et kapløb uden skærm: Den ene lægger 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 sammen led for led, den anden halverer 10 × 22. Begge bør nå 110.

Sådan spiller du

På første niveau viser hver runde en sum, der skal gøres færdig, som »Sum: a₁=13, aₙ=37, n=12« med første led, sidste led og antal, så du skriver 300. Et andet niveau er et spil med geometriske rækker i det små: »1+2+4+⋯, 7 led, sum=?« vil have 127. Når du har summen før din rival, slår Tomat til, og en hurtig sum bliver til et hårdt slag.

— Hurtige svar —

Series: den korte FAQ

Hvad er en geometrisk række?: En geometrisk række lægger led sammen, hvor hvert led fås ved at gange det forrige med samme tal, kvotienten q. I 3 + 6 + 12 + 24 er kvotienten 2 og summen 45. Med første led a, kvotient q og n led er summen a(qⁿ − 1)/(q − 1), her altså 3 × 15/1 = 45. Spillets geometriske niveau bruger det enkleste tilfælde: 1 + 2 + 4 + ⋯, med kvotient 2.
Hvordan finder man summen af en differensfølge?: Summen af en differensfølge findes ud fra tre oplysninger: første led, sidste led og antallet af led. Mangler det sidste, bygger du det ud fra differensen d, det faste spring mellem leddene: aₙ = a₁ + (n − 1)d. For 4 + 7 + 10 + ⋯ med 10 led er det sidste 4 + 9 × 3 = 31, så summen er halvdelen af 10 × 35: 175.
Hvordan husker man rækken for eˣ?: Husk den som par, der passer sammen: Hver potens af x står over fakulteten af samme tal. Altså er e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, hvor n!, udtalt »n fakultet«, er 1 × 2 × ⋯ × n. Leddet med x⁵ står derfor over 5! = 120. Sætter du x = 1, giver leddene selve tallet e, cirka 2,72.
Hvorfor tæller man forkert, når man finder antallet af led?: Mange elever dividerer afstanden med springet og glemmer at tælle det første led med. Fra 5 til 50 i spring på 3 er der 15 spring, fordi 50 − 5 = 45 rummer 15 treere, men der er 16 led. Tænk på pæle i et hegn: 15 mellemrum kræver 16 pæle. Derfor har 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 led og summen 440, ikke 412,5.
Hvordan kan en lærer starte en time om rækker med spillet, og er det gratis?: Du kan starte med et kapløb ved tavlen, og spillet koster intet: Hvert niveau åbner i browseren uden login eller download. Som øvelse i aritmetiske rækker skriver du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ og lader klassen råbe hver delsum: 1; 4; 9; 16; 25. Når eleverne ser kvadrattallene, spørger du efter summen af de første 30 ulige tal: 900. Med skoleabonnementet, prissat per elev, viser et dashboard, hvem der bliver bedre til summer.

Mere matematik at mestre

Klar til at gå i kamp?

Spil gratis ▸