ما هو نظام المعادلات الخطية؟

نظام المعادلات الخطية مجموعة من المعادلات تشترك في المجاهيل نفسها ويجب أن تتحقق كلها في الوقت نفسه. وحدها، للمعادلة ⁦x + y = 12⁩ حلول لا نهاية لها: 5 و 7، و 9 و 3، وغيرها كثير. أضف ⁦x − y = 2⁩، فلا يحقق المعادلتين إلا ⁦x = 7⁩ و ⁦y = 5⁩. وعلى التمثيل البياني، هذا الزوج هو نقطة تقاطع المستقيمين.

كيف تحل نظام معادلات بطريقة الحذف؟

في طريقة الحذف تجعل أحد المجهولين يختفي، ثم تحل لإيجاد الآخر. في المعادلتين ⁦3x + 2y = 16⁩ و ⁦x − y = 2⁩ لا تُلغى حدود y بعد. اضرب المعادلة الثانية في 2 لتحصل على ⁦2x − 2y = 4⁩، ثم اجمع المعادلتين: ⁦5x = 20⁩، إذن ⁦x = 4⁩. وبالتعويض بالعدد 4 في ⁦x − y = 2⁩ تحصل على ⁦y = 2⁩.

كيف تتذكر أي فرق يوضع في الأعلى عند حساب الميل؟

جرّب القانون على مستقيم تعرفه. المستقيم ⁦y = 2x⁩ يمر بالنقطتين ⁦(0, 0)⁩ و ⁦(1, 2)⁩، فهو يرتفع 2 مقابل كل 1 إلى اليمين، ولا بد أن يكون ميله 2. ولا ينتج ذلك إلا من 2 على 1، لا من 1 على 2: ففرق قيم y في الأعلى دائمًا، وفرق قيم x في الأسفل.

لماذا يظن طفلي أن الميل السالب أقل انحدارًا؟

يرى كثير من الطلاب أن الميل ⁦−4⁩ أخف انحدارًا من 2، لأن ⁦−4⁩ هو العدد الأصغر. لكن شدة الانحدار تعتمد على مقدار الميل دون إشارته: مع ⁦−4⁩ ينزل المستقيم 4 لكل خطوة إلى اليمين، ومع 2 يصعد 2 فقط. قارن المقادير لتحكم على الانحدار، واستخدم الإشارة فقط لتعرف هل يصعد المستقيم أم ينزل.

هل يستطيع المعلم استخدام هذه اللعبة عن الدوال الخطية مع صفه مجانًا؟

نعم، يستطيع: المستويان مجانيان ويعملان في المتصفح الموجود أصلًا على أجهزة المدرسة، بلا تسجيل ولا تنزيل. وللتدرب على الميل عند السبورة، ارسم شبكة وحدد النقطة ⁦(0, 1)⁩، واطلب من التلاميذ نقاطًا يكون الميل بينها وبين تلك النقطة 2. إجابات مثل ⁦(2, 5)⁩ أو ⁦(−1, −1)⁩ تقع كلها على مستقيم واحد. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تعرض لوحة المعلّم من يزداد ثقة في حساب الميل.

تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة

لعبة الدوال الخطية

في هذه المعركة مع الدوال الخطية، يكون الميل بين نقطتين دائمًا عددًا صحيحًا من ⁦−4⁩ إلى 4، ولا يكون 0 أبدًا، ويجمع كل نظام بين ⁦x + y⁩ و ⁦x − y⁩. يحصل خصمك على النقاط نفسها، فاقرأ المستقيم أسرع منه ليضرب مقاتلك أولًا.

للأعمار ⁦4–99+⁩ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة

اختر مستواك ▸

ما هي الدالة الخطية؟

الدالة الخطية قاعدة تتغير فيها y بالمقدار نفسه كلما زادت x بمقدار 1، ولهذا يكون تمثيلها البياني خطًا مستقيمًا. تُكتب على الصورة ⁦y = mx + b⁩، حيث m هو الميل، أي مقدار انحدار المستقيم، و b هو المقطع الصادي، أي النقطة التي يقطع فيها المستقيم محور y. شمعة طولها 20 سم تحترق بمعدل 2 سم في الساعة تتبع القاعدة ⁦y = 20 − 2x⁩.

كل مستويات Linear functions

مثال: ⁦x + y = 17⁩ و ⁦x − y = 9⁩

تعرض اللعبة معادلتين معًا وتسأل عن x فقط: ⁦x + y = 17⁩ و ⁦x − y = 9⁩.
اجمع المعادلتين: يلغي ⁦+y⁩ و ⁦−y⁩ أحدهما الآخر، فيبقى 2x في طرف و ⁦17 + 9 = 26⁩ في الطرف الآخر.
إذا كان ⁦2x = 26⁩، فإن x نصف 26، أي ⁦x = 13⁩.
تحقق باستخدام ⁦y = 17 − 13 = 4⁩: بما أن ⁦13 − 4 = 9⁩، فالمعادلتان صحيحتان، لذلك تكتب 13.

تعلّمها خطوة بخطوة

Slope is how steep a line is, and it is measured as rise over run: how far the line climbs for every step it takes sideways.

Given two points, subtract the y-values to get the rise and the x-values to get the run, then divide. From (1, 2) to (4, 11): the rise is 11 − 2 = 9, the run is 4 − 1 = 3, so the slope is 3. The line goes up three for every one across.

Order matters only in that you must be consistent — start at the same point for both subtractions, or you will get the sign backwards.

A positive slope climbs to the right and a negative one falls. The number is a rate: on a distance-time graph it is speed, on a cost graph it is price per item.

Find the rise, find the run, divide, and type the slope.

نصائح وأخطاء شائعة

انظر إلى الإشارة أمام y. إذا اختلفت الإشارتان، مثل ⁦+y⁩ و ⁦−y⁩، تختفي y عند جمع المعادلتين، وإذا تشابهتا تختفي عند طرح إحداهما من الأخرى.
من الأخطاء الشائعة التوقف عند ⁦2x = 30⁩ وكتابة 30. جمع المعادلتين يعطي ضعف x، فاقسم على 2 قبل أن تجيب: ⁦x = 15⁩.
للتدرب على رسم المستقيمات في البيت، ارسم مع طفلك ⁦y = 2x + 1⁩ على ورق مربعات من ⁦x = 0⁩ إلى ⁦x = 3⁩. كل نقطة أعلى من سابقتها بمربعين، ومسطرة واحدة تصل بينها كلها.

طريقة اللعب

يعرض مستوى الميل نقطتين، مثل «الميل من ⁦(2, 5)⁩ إلى ⁦(4, 3)⁩»، فتكتب ⁦−1⁩ مستخدمًا مفتاح السالب لأن المستقيم هابط. ويتحول المستوى الثاني إلى لعبة أنظمة معادلات: مع ⁦x + y = 22⁩ و ⁦x − y = 8⁩ تكتب x وحدها، أي 15. وإن سبقت خصمك بالجواب الصحيح هاجم فطر، وتزداد قوة ضربته كلما قصر وقتك.

— إجابات سريعة —

Linear functions: الأسئلة الشائعة باختصار

ما هو نظام المعادلات الخطية؟: نظام المعادلات الخطية مجموعة من المعادلات تشترك في المجاهيل نفسها ويجب أن تتحقق كلها في الوقت نفسه. وحدها، للمعادلة ⁦x + y = 12⁩ حلول لا نهاية لها: 5 و 7، و 9 و 3، وغيرها كثير. أضف ⁦x − y = 2⁩، فلا يحقق المعادلتين إلا ⁦x = 7⁩ و ⁦y = 5⁩. وعلى التمثيل البياني، هذا الزوج هو نقطة تقاطع المستقيمين.
كيف تحل نظام معادلات بطريقة الحذف؟: في طريقة الحذف تجعل أحد المجهولين يختفي، ثم تحل لإيجاد الآخر. في المعادلتين ⁦3x + 2y = 16⁩ و ⁦x − y = 2⁩ لا تُلغى حدود y بعد. اضرب المعادلة الثانية في 2 لتحصل على ⁦2x − 2y = 4⁩، ثم اجمع المعادلتين: ⁦5x = 20⁩، إذن ⁦x = 4⁩. وبالتعويض بالعدد 4 في ⁦x − y = 2⁩ تحصل على ⁦y = 2⁩.
كيف تتذكر أي فرق يوضع في الأعلى عند حساب الميل؟: جرّب القانون على مستقيم تعرفه. المستقيم ⁦y = 2x⁩ يمر بالنقطتين ⁦(0, 0)⁩ و ⁦(1, 2)⁩، فهو يرتفع 2 مقابل كل 1 إلى اليمين، ولا بد أن يكون ميله 2. ولا ينتج ذلك إلا من 2 على 1، لا من 1 على 2: ففرق قيم y في الأعلى دائمًا، وفرق قيم x في الأسفل.
لماذا يظن طفلي أن الميل السالب أقل انحدارًا؟: يرى كثير من الطلاب أن الميل ⁦−4⁩ أخف انحدارًا من 2، لأن ⁦−4⁩ هو العدد الأصغر. لكن شدة الانحدار تعتمد على مقدار الميل دون إشارته: مع ⁦−4⁩ ينزل المستقيم 4 لكل خطوة إلى اليمين، ومع 2 يصعد 2 فقط. قارن المقادير لتحكم على الانحدار، واستخدم الإشارة فقط لتعرف هل يصعد المستقيم أم ينزل.
هل يستطيع المعلم استخدام هذه اللعبة عن الدوال الخطية مع صفه مجانًا؟: نعم، يستطيع: المستويان مجانيان ويعملان في المتصفح الموجود أصلًا على أجهزة المدرسة، بلا تسجيل ولا تنزيل. وللتدرب على الميل عند السبورة، ارسم شبكة وحدد النقطة ⁦(0, 1)⁩، واطلب من التلاميذ نقاطًا يكون الميل بينها وبين تلك النقطة 2. إجابات مثل ⁦(2, 5)⁩ أو ⁦(−1, −1)⁩ تقع كلها على مستقيم واحد. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تعرض لوحة المعلّم من يزداد ثقة في حساب الميل.

المزيد من الرياضيات لإتقانها

مستعد للنزال؟

العب مجاناً ▸