تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة
لعبة المحددات
في هذه المبارزة مع محددات المصفوفات 2×2، تضم كل مصفوفة أربعة أرقام من 1 إلى 9، ومع ذلك قد يقع الناتج في أي مكان بين −80 و80. اضرب القطرين أسرع من خصمك، فيحوّل مقاتلك ad − bc إلى لكمة.
للأعمار 4–99+ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة
ما هو المحدد؟
المحدد عدد واحد يُحسب من مصفوفة مربعة، أي جدول عدد صفوفه يساوي عدد أعمدته. ويُكتب det A أو |A|. في المصفوفة 2×2 يبيّن المحدد كم مرة تتمدد المساحات: المحدد 6 يجعل كل شكل أكبر ست مرات، والمحدد السالب يعكسه أيضًا كما في المرآة، والصفر يسطّحه تمامًا.
مثال: محدد المصفوفة [ 3 5 ; 8 1 ]
- في الصف العلوي من المصفوفة العددان 3 و5، وتحتهما 8 و1.
- اضرب القطر الرئيسي، 3 × 1 = 3، ثم القطر الآخر، 5 × 8 = 40.
- اطرح حاصل الضرب الثاني من الأول: 3 − 40 = −37.
- المحدد يساوي −37، لذلك تكتبه مع إشارة السالب في أوله.
تعلّمها خطوة بخطوة
مصفوفة 2×2 شبكة صغيرة من أربعة أعداد، مرتّبة في صفين: a b أعلى، c d أسفل. محدِّدها عدد واحد يقيس الشبكة، وهناك نمط تقاطعي أنيق لإيجاده.
اضرب القطر الرئيسي (أعلى اليسار × أسفل اليمين = a × d)، ثم اطرح القطر الآخر (أعلى اليمين × أسفل اليسار = b × c). لـ[ 2 3 ؛ 1 4 ]: هذا (2 × 4) − (3 × 1) = 8 − 3 = 5. قد يخرج الجواب سالبًا — لا بأس، استخدم مفتاح الـ−.
اضرب القطرين تقاطعيًا، اطرح، واكتب المحدِّد.
نصائح وأخطاء شائعة
- تخيّل القطر الرئيسي منحدرًا ينزل من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين. حاصل ضرب النزول أولًا، ثم حاصل ضرب الصعود: هكذا تحصل دائمًا على ad − bc.
- من الأخطاء الشائعة الضرب على امتداد الصفوف بدل القطرين. في [ 2 7 ; 1 5 ] تعطي الصفوف 14 − 5 = 9، أما القطران فيعطيان 10 − 7 = 3.
- وزّعوا أربع بطاقات أرقام في شبكة 2×2 وتسابقوا إلى المحدد. ثم بدّلوا الصفين: تبقى القيمة المطلقة كما هي لكن الإشارة تنقلب.
طريقة اللعب
تعرض كل جولة مصفوفة 2×2 من أرقام بين 1 و9، مثل det [ 8 9 ; 8 1 ]، فتكتب محددها، −64، مع إشارة السالب. ويطلب المستوى الثاني ضرب صف في عمود: [2 4] · [2; 6] يعطي 28. خصمك يرى المسألة نفسها؛ أجب صوابًا أولًا فيهاجم قرن بازلاء، وتشتد الضربة كلما قلّ وقتك.
— إجابات سريعة —
المحدِّد: الأسئلة الشائعة باختصار
- ماذا يعني أن يساوي المحدد صفرًا؟
- المحدد الذي يساوي صفرًا يعني أن المصفوفة تسطّح المستوى، فيفقد كل شكل مساحته كلها. ويحدث ذلك عندما يكون أحد الصفين مضاعفًا للآخر. في [ 2 3 ; 4 6 ] الصف السفلي ضعف الصف العلوي، و2 × 6 − 3 × 4 = 0. ومثل هذه المصفوفة ليس لها معكوس، أي مصفوفة تلغي أثرها.
- كيف تضرب المصفوفات؟
- عند ضرب المصفوفات يلتقي كل صف من الأولى بكل عمود من الثانية. اجعل عناصرهما، أي الأعداد التي داخلهما، أزواجًا، واضرب كل زوج، ثم اجمع النواتج: هذا المجموع عنصر واحد من الناتج. الصف [3 4] مع العمود [4; 2] يعطي 3 × 4 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20. والمستوى الثاني يسأل عن عنصر واحد كهذا بالضبط.
- لماذا تخرج إشارة المحدد عندي خاطئة؟
- الإشارة الخاطئة تعني غالبًا أن حاصلي الضرب طُرحا بالترتيب المعكوس. حاصل الضرب من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين يأتي أولًا دائمًا. في [ 4 9 ; 2 3 ] يعطي ذلك 12 − 18 = −6، أي محددًا سالبًا. وإذا بدأت بالقطر الآخر حصلت على 6: القيمة المطلقة صحيحة لكن الإشارة خاطئة.
- في أي عمر يتعلم الطلاب المحددات؟
- في كثير من الأنظمة المدرسية تأتي محددات 2×2 في السنوات الأخيرة من المرحلة الثانوية، بينما تؤجلها أنظمة أخرى إلى أول مقرر جامعي في الجبر الخطي. ومستويات المصفوفات هنا مصممة لعمر 17 عامًا. ومن يتعامل بثقة مع الأعداد السالبة وجدول الضرب يستطيع أن يبدأ فورًا.
- ماذا يحتاج الصف ليلعب بالمحددات، وهل اللعبة مجانية؟
- لا يحتاج الصف إلا إلى متصفح على حواسيب محمولة أو أجهزة لوحية أو هواتف، وهذه اللعبة في الجبر الخطي مجانية، بلا حسابات ولا تثبيت. وللتدرّب على محددات المصفوفات، اعرض شهرًا من التقويم على السبورة واطلب من كل طالب أن يحيط بمربع مختلف من 2×2 من التواريخ. كل مربع يعطي −7، كما يبيّن 3 × 11 − 4 × 10، ويستطيع الصف أن يثبت السبب بالجبر. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تُظهر لوحة المعلّم من يزداد سرعة.
المزيد من الرياضيات لإتقانها