O que indica o produto escalar de dois vetores?

O produto escalar indica, com um só número, quanto dois vetores estão alinhados: é o produto das duas normas pelo cosseno do ângulo entre eles. É positivo se fizerem menos de 90°, vale 0 se fizerem um ângulo reto e é negativo se se afastarem mais. Para ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩ dá 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, por isso são perpendiculares. No jogo, todas as componentes vão de 1 a 9, logo o produto é sempre positivo.

Como se passam coordenadas polares para cartesianas?

Para obter as coordenadas cartesianas, multiplica o comprimento r por cos θ para teres x e por sen θ para teres y. As coordenadas polares situam um ponto com uma distância e um ângulo; as cartesianas, com um avanço horizontal e outro vertical. Com r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sen 30° = 12 × ½ = 6. O jogo usa r pares e ângulos cujo seno ou cosseno é 0, ½ ou 1, às vezes negativo, para que o resultado seja inteiro.

Há algum truque para calcular depressa a norma de um vetor?

O truque mais rápido é reconhecer o terno pitagórico por trás do vetor: três números inteiros em que os quadrados dos dois primeiros somam o quadrado do terceiro. O jogo constrói todos os vetores a partir de apenas cinco ternos, como 5, 12 e 13 ou 8, 15 e 17, ou de um múltiplo de um deles. Assim, ⟨16; 12⟩ é ⟨4; 3⟩ quatro vezes, e a sua norma é 4 × 5 = 20.

Porque é que a componente x me dá negativa?

Um x negativo é a resposta certa sempre que o ângulo passa dos 90°, porque a seta aponta então para a esquerda do ponto de partida. Como cos 120° = −½, com r = 8 e θ = 120° obténs x = 8 × (−½) = −4, e a 180° o x é o comprimento todo com sinal menos. Escreve-o com a tecla do menos. Aqui o y nunca é negativo, porque nenhum ângulo passa dos 180°.

Este jogo de matemática com vetores é grátis, e como o uso na aula?

Sim, os três níveis de vetores são grátis em qualquer navegador, e ninguém precisa de se registar nem de instalar nada. Para aquecer a turma, pergunta quantas setas com componentes inteiras medem exatamente 13. Em pares, os alunos procuram-nas, como ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, até aparecerem as 12; desenhadas a partir do mesmo ponto, as pontas formam uma circunferência. Com o plano para escolas, o professor paga por aluno e vê num painel quem está a melhorar.

Praticar matemática · reinventado

Jogo de vetores

Este jogo de matemática com vetores dá-te setas como pares, por exemplo ⟨24; 7⟩, ou como um comprimento e um ângulo, e todas as respostas são inteiras, de −24 a 162. Chega primeiro e o teu lutador ataca enquanto o teu rival ainda está a elevar ao quadrado e a somar.

Dos 4 aos 99+ · sem transferências · joga no teu navegador · 23 idiomas

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O que é um vetor?

Um vetor é uma grandeza com tamanho, direção e sentido, que se desenha como uma seta. Um vento de 20 km/h é só uma velocidade até dizeres que sopra para norte; aí passa a ser um vetor. Duas setas são o mesmo vetor quando têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido, comecem onde começarem.

Todos os níveis de Vetores

Exemplo: a norma de ⟨24; 7⟩

As barras à volta de ⟨24; 7⟩ pedem a norma, ou seja, o comprimento: a seta avança 24 na horizontal e sobe 7.
Multiplica cada componente por si própria: 24 × 24 = 576 e 7 × 7 = 49.
Soma os dois quadrados, que dão 625, e procura o número que multiplicado por si próprio dá 625: é 25.
A seta mede 25, só um pouco mais do que os 24 na horizontal, por isso escreves 25.

Aprende passo a passo

Um vetor ⟨x, y⟩ é uma seta: avança x passos na horizontal e y passos na vertical. A sua magnitude é apenas o COMPRIMENTO dessa seta, medido em linha reta do início à ponta.

Como o passo horizontal e o passo vertical fazem um ângulo reto, a seta é a hipotenusa de um triângulo retângulo — por isso o seu comprimento é √(x² + y²), o teorema de Pitágoras. Para ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Estes são escolhidos para o comprimento dar sempre um número inteiro.)

Eleva cada parte ao quadrado, soma, tira a raiz quadrada e escreve o comprimento.

Dicas e erros comuns

Imagina θ = 0°: a seta fica deitada sobre o eixo x, por isso x é o comprimento todo, r. Como cos 0° = 1, o x vai com o cosseno e o y com o seno.
Um erro comum é somar as duas componentes: ⟨12; 9⟩ não mede 21, porque a seta direita corta caminho pela diagonal. O certo é 144 + 81 = 225, e √225 = 15.
Para praticar a soma de vetores, anda 6 ladrilhos, vira em ângulo reto e anda mais 8: ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Um fio esticado até à partida mede 10 ladrilhos.

Como se joga

Os vetores chegam ao ecrã de três formas: |⟨21; 20⟩| pede uma norma, 29; r=10, θ=120°, x=? pede −5, com a tecla do menos; e ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ pede um produto escalar, 39. Escreve cada número inteiro no teclado antes do teu rival, e Malagueta ataca com mais força quanto mais cedo chegar o teu.

— Respostas rápidas —

Vetores: o FAQ rápido

O que indica o produto escalar de dois vetores?: O produto escalar indica, com um só número, quanto dois vetores estão alinhados: é o produto das duas normas pelo cosseno do ângulo entre eles. É positivo se fizerem menos de 90°, vale 0 se fizerem um ângulo reto e é negativo se se afastarem mais. Para ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩ dá 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, por isso são perpendiculares. No jogo, todas as componentes vão de 1 a 9, logo o produto é sempre positivo.
Como se passam coordenadas polares para cartesianas?: Para obter as coordenadas cartesianas, multiplica o comprimento r por cos θ para teres x e por sen θ para teres y. As coordenadas polares situam um ponto com uma distância e um ângulo; as cartesianas, com um avanço horizontal e outro vertical. Com r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sen 30° = 12 × ½ = 6. O jogo usa r pares e ângulos cujo seno ou cosseno é 0, ½ ou 1, às vezes negativo, para que o resultado seja inteiro.
Há algum truque para calcular depressa a norma de um vetor?: O truque mais rápido é reconhecer o terno pitagórico por trás do vetor: três números inteiros em que os quadrados dos dois primeiros somam o quadrado do terceiro. O jogo constrói todos os vetores a partir de apenas cinco ternos, como 5, 12 e 13 ou 8, 15 e 17, ou de um múltiplo de um deles. Assim, ⟨16; 12⟩ é ⟨4; 3⟩ quatro vezes, e a sua norma é 4 × 5 = 20.
Porque é que a componente x me dá negativa?: Um x negativo é a resposta certa sempre que o ângulo passa dos 90°, porque a seta aponta então para a esquerda do ponto de partida. Como cos 120° = −½, com r = 8 e θ = 120° obténs x = 8 × (−½) = −4, e a 180° o x é o comprimento todo com sinal menos. Escreve-o com a tecla do menos. Aqui o y nunca é negativo, porque nenhum ângulo passa dos 180°.
Este jogo de matemática com vetores é grátis, e como o uso na aula?: Sim, os três níveis de vetores são grátis em qualquer navegador, e ninguém precisa de se registar nem de instalar nada. Para aquecer a turma, pergunta quantas setas com componentes inteiras medem exatamente 13. Em pares, os alunos procuram-nas, como ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, até aparecerem as 12; desenhadas a partir do mesmo ponto, as pontas formam uma circunferência. Com o plano para escolas, o professor paga por aluno e vê num painel quem está a melhorar.

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