Praticar matemática · reinventado
Jogo de somas de progressões
Este desafio de somar progressões põe-te a somar até 40 termos de uma progressão aritmética de uma só vez e chega à série da função ex, onde x7 aparece dividido por 5040. Somar termo a termo é lento demais aqui: o primeiro total certo lança o teu lutador ao ataque.
Dos 4 aos 99+ · sem transferências · joga no teu navegador · 23 idiomas
O que é uma série em matemática?
Uma série é a soma de uma sucessão: os números de uma lista ordenada, chamados termos, somados num só total. A sucessão 3; 5; 7; 9 tem quatro termos, mas a série 3 + 5 + 7 + 9 é um único número, 24. Há séries curtas, longas e até infinitas, e muitas vezes uma fórmula dá o total sem somar cada termo.
Exemplo: 1 + 2 + 4 + ⋯ com 5 termos
- Cada termo é o dobro do anterior, por isso os cinco termos são 1, 2, 4, 8 e 16.
- Soma-os um a um: 1 + 2 = 3, depois 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 e 15 + 16 = 31.
- Confirma com o atalho deste padrão: 25 = 32, e a soma é uma unidade a menos, 31.
- A soma é 31, por isso escreves 31 no teclado.
Aprende passo a passo
A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.
The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.
The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.
Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.
Dicas e erros comuns
- Para somar 1 + 2 + ⋯ + n, multiplica n pelo número seguinte e tira metade: em 1 + 2 + ⋯ + 12, 12 × 13 = 156, e metade é 78.
- Um erro comum é procurar a diferença entre termos. Com a₁ = 15, aₙ = 44 e n = 6 essa diferença é 5,8, mas a soma é só metade de 6 × 59: 177.
- Longe do ecrã, desafia alguém para uma corrida: um soma 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 termo a termo e o outro calcula metade de 10 × 22. Os dois devem chegar a 110.
Como se joga
No primeiro nível, cada ronda mostra uma soma por acabar, como «Soma: a₁=13, aₙ=37, n=12», que dá o primeiro termo, o último e quantos são, por isso escreves 300. Outro nível funciona como um jogo de séries geométricas em miniatura: «1+2+4+⋯, 7 termos, soma=?» pede 127. Vence o teu rival com o total e Tomate ataca; um total rápido transforma-se num golpe forte.
— Respostas rápidas —
Series: o FAQ rápido
- O que é uma série geométrica?
- Uma série geométrica soma termos que resultam de multiplicar o anterior por um mesmo número, chamado razão. Em 3 + 6 + 12 + 24 a razão é 2 e a soma é 45. Com primeiro termo a, razão r e n termos, a soma é a(rn − 1)/(r − 1), portanto aqui 3 × 15/1 = 45. O nível geométrico deste jogo usa o caso mais simples: 1 + 2 + 4 + ⋯, com razão 2.
- Como se calcula a soma de uma progressão aritmética?
- A soma de uma progressão aritmética calcula-se com três dados: o primeiro termo, o último e quantos termos há. Se faltar o último, constrói-o com a diferença d, o salto fixo entre termos: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Em 4 + 7 + 10 + ⋯ com 10 termos, o último é 4 + 9 × 3 = 31, portanto a soma é metade de 10 × 35: 175.
- Como se memoriza a série da função eˣ?
- Memoriza-a como pares que combinam: cada potência de x fica sobre o fatorial do mesmo número. Assim, ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ⋯, onde n!, que se lê «n fatorial», é 1 × 2 × ⋯ × n. Por isso o termo em x5 fica sobre 5! = 120. Com x = 1, os termos somam o próprio número e, cerca de 2,72.
- Porque é que se contam mal os termos de uma progressão?
- Muitos alunos dividem a distância pelo salto e esquecem-se de contar o primeiro termo. De 5 a 50, de 3 em 3, há 15 saltos, porque 50 − 5 = 45 contém 15 vezes o 3, mas há 16 termos. Pensa nos postes de uma vedação: 15 intervalos precisam de 16 postes. Assim, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 tem 16 termos e soma 440, não 412,5.
- Como começar uma aula de progressões com este jogo, e é gratuito?
- Podes começar com uma corrida no quadro, e o jogo não custa nada: cada nível abre no navegador, sem registo nem downloads. Para praticar somas de progressões aritméticas, escreve 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ e pede à turma que diga em voz alta cada soma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Quando virem os quadrados, pede a soma dos 30 primeiros ímpares: 900. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel mostra quem evolui nas somas.