Jogo de limites

O que é um limite em cálculo?

Um limite é o valor de que uma função se aproxima quando x fica cada vez mais perto de um número. Escrever lim x→3 significa «quando x tende para 3», e a função nem precisa de ter valor em 3. Caminha em direção a uma porta, percorrendo a cada passo metade do que falta: chegas tão perto quanto quiseres, e a porta é o teu limite.

Exemplo: o limite de (x² − 11x + 28) / (x − 7) quando x tende para 7

1. Substitui primeiro x = 7: o numerador dá 49 − 77 + 28 = 0 e o denominador dá 7 − 7 = 0, por isso obténs 0/0, uma indeterminação que ainda não dá o limite.
2. Procura dois números cujo produto seja 28 e cuja soma seja 11: são 7 e 4, por isso o numerador fatoriza-se como (x − 7)(x − 4).
3. Simplifica o fator (x − 7), que aparece em cima e em baixo, e fica apenas x − 4.
4. Agora substitui 7 em x − 4 e obténs 3: o limite é 3, por isso escreves 3.

Dicas e erros comuns

• Segue sempre a mesma ordem: primeiro substitui e, se der um número, está feito. Se der 0/0, fatoriza e simplifica. Se x → ∞, compara só as potências mais altas.
• Um erro comum é riscar os x de (x² − 25) / (x − 5) um a um. Só se simplificam fatores inteiros: primeiro reescreve o numerador como (x − 5)(x + 5).
• Em casa, uma calculadora torna o limite visível: experimenta x = 3,9; 3,99 e 3,999 em (x² − 16) / (x − 4). Os resultados, 7,9; 7,99 e 7,999, aproximam-se de 8.

— Respostas rápidas —

Limite: o FAQ rápido

O que significa x → ∞ num limite?

Significa que x cresce sem parar e ultrapassa qualquer número que consigas dizer, por isso ∞ é uma direção, não um valor para substituir. O limite pergunta de que valor a função se aproxima pelo caminho. Quando x cresce, 1/x aproxima-se de 0. Já 12x a dividir por 4x vale 3 para qualquer x diferente de 0, por isso o seu limite no infinito é 3.

Como se resolve um limite com uma diferença de cubos?

Fatoriza o numerador com a identidade a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Em (x³ − 64) / (x − 4) quando x → 4, isso dá (x − 4)(x² + 4x + 16). Simplifica o (x − 4) e substitui: 16 + 16 + 16 = 48. Para esta forma há uma verificação rápida: o triplo do quadrado do número para que x tende, 3 × 4² = 48.

Em que idade se aprendem limites?

Em muitos sistemas de ensino, os alunos estudam limites por volta dos 16 aos 18 anos, no fim do secundário, e voltam a eles na primeira cadeira de cálculo da universidade. As aulas costumam seguir a ordem destes níveis: primeiro substituir, depois levantar indeterminações 0/0 e, por fim, limites no infinito. Aqui os níveis foram pensados para idades dos 16 aos 17 anos.

Porque é que o meu limite dá errado depois de simplificar?

Quase sempre a simplificação está certa e falta o último passo: o que sobra ainda tem de ser calculado no ponto. Em (x² − 13x + 36) / (x − 9) quando x → 9, o numerador é (x − 9)(x − 4). Ao simplificar, fica x − 4, por isso o limite é 9 − 4 = 5. Escrever 4, o número que fica dentro do parêntese, é o erro clássico.

Este jogo sobre limites é grátis, e como pode uma turma de cálculo usá-lo?

Sim, os três níveis são grátis para uma turma e abrem em qualquer separador do navegador, sem contas nem instalações. Para praticar limites de cálculo, escreve no quadro (x² − 9) / (x − 3), (x³ − 27) / (x − 3) e (x² − 5x + 6) / (x − 3). As três dão 0/0 em x = 3, mas os grupos que as fatorizam encontram limites de 6, 27 e 1. Com o plano para escolas, pago por aluno, um painel do professor mostra quem está a resolver limites cada vez mais depressa.