O que significa dx num integral?

Num integral, dx indica a variável ao longo da qual somas e representa uma largura minúscula de x. Assim, ∫ 6x² dx lê-se como uma soma de faixas com 6x² de altura e dx de largura. Torna as faixas cada vez mais finas, e o total passa a ser a área exata. Sem o dx, o integral não diria em que direção cortar.

Como se calcula um integral definido?

Um integral definido calcula-se em três passos. Encontra uma primitiva, uma função cuja derivada é a que está dentro do integral. Calcula-a no limite superior e subtrai o seu valor no limite inferior. Para 2x de 1 a 3, a primitiva é x², por isso 9 − 1 = 8. Neste jogo o limite inferior é sempre 0, onde estas primitivas valem 0.

Como decorar a regra da potência para integrar?

Pensa nas meias e nos sapatos: calças primeiro as meias, mas descalças primeiro os sapatos. Derivar multiplica pelo expoente e depois baixa-o uma unidade, por isso integrar desfaz esses passos pela ordem inversa: o expoente sobe uma unidade e depois divides pelo novo expoente. Assim, 12x³ passa a 3x⁴, e derivar 3x⁴ devolve 12x³.

Qual é o erro mais comum na integração por substituição?

O erro mais comum é esquecer o número que acompanha o x dentro do parêntese. Em ∫(3x + 2)⁴ dx, subir o expoente dá (3x + 2)⁵ a dividir por 5, mas o parêntese cresce 3 vezes mais depressa do que x, por isso também divides por 3. O denominador é 3 × 5 = 15, não 5. Ao derivar (3x + 2)⁵ / 15, recuperas exatamente (3x + 2)⁴.

Quanto custa levar este jogo de cálculo integral para uma aula?

Nada: os três níveis, das potências isoladas à substituição, abrem num separador do navegador nos portáteis ou tablets da escola, sem contas para os alunos. Para praticar integrais no quadro, pede aos grupos funções cuja área de 0 a 2 seja exatamente 8. A constante 4, a reta 4x e a curva 3x² servem, com três formas muito diferentes. Com o plano para escolas, pago por aluno, um painel do professor mostra quem está a melhorar nos integrais.

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Jogo de integrais

Neste jogo sobre integrais, cada área começa em x = 0 e acaba em 2 ou em 3, e o nível de substituição só pede um denominador. O teu rival integra a mesma curva, por isso cada passo que poupas faz o teu lutador atacar primeiro.

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O que é um integral?

Um integral soma uma quantidade que não para de mudar. Para uma curva acima do eixo dos x, o integral definido dá a área por baixo dela entre dois valores de x, chamados limites de integração. Imagina o gráfico da velocidade de um carro durante uma viagem: a área sob esse gráfico é a distância percorrida.

Todos os níveis de Integral

Exemplo: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Integra termo a termo: 3x² passa a x³, 8x passa a 4x², e o 5 sozinho passa a 5x.
Substitui o limite superior, x = 2, em x³ + 4x² + 5x: dá 8 + 16 + 10 = 34.
No limite inferior, x = 0, todos os termos valem 0, por isso não se subtrai nada e escreves 34.

Aprende passo a passo

A integração é a derivação ao contrário — soma fatias minúsculas para encontrar a ÁREA debaixo de uma curva.

A regra da potência inverte-se: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — sobe o expoente em um, depois divide pelo novo expoente. Para ∫2x dx de 0 a 3: isso é x² calculado em 3 → 9.

Integra, calcula no limite superior (o inferior aqui é 0) e escreve a área.

Dicas e erros comuns

Lê os símbolos como uma frase: ∫ é um S alongado, de «soma», e dx é uma largura finíssima. Assim, ∫ 6x² dx significa somar faixas finas de altura 6x².
Um erro comum é multiplicar pelo novo expoente em vez de dividir. 6x² integra-se em 2x³, não 18x³; deriva o resultado e deves voltar a obter 6x².
Em papel quadriculado, desenha a reta y = x de 0 a 6 e conta os quadrados por baixo dela. O triângulo cobre 18, exatamente o que x²/2 prevê em 6.

Como se joga

Nos dois primeiros níveis, cada ronda mostra uma área para calcular, como ∫(0→3) 8x³ dx, e escreves no teclado o número inteiro que ela vale: 162. O nível de substituição mostra ∫(2x+5)³ dx e só quer o denominador do resultado: 8. Responde antes do teu rival e Cenoura ataca, com mais força quanto mais cedo acertares.

— Respostas rápidas —

Integral: o FAQ rápido

O que significa dx num integral?: Num integral, dx indica a variável ao longo da qual somas e representa uma largura minúscula de x. Assim, ∫ 6x² dx lê-se como uma soma de faixas com 6x² de altura e dx de largura. Torna as faixas cada vez mais finas, e o total passa a ser a área exata. Sem o dx, o integral não diria em que direção cortar.
Como se calcula um integral definido?: Um integral definido calcula-se em três passos. Encontra uma primitiva, uma função cuja derivada é a que está dentro do integral. Calcula-a no limite superior e subtrai o seu valor no limite inferior. Para 2x de 1 a 3, a primitiva é x², por isso 9 − 1 = 8. Neste jogo o limite inferior é sempre 0, onde estas primitivas valem 0.
Como decorar a regra da potência para integrar?: Pensa nas meias e nos sapatos: calças primeiro as meias, mas descalças primeiro os sapatos. Derivar multiplica pelo expoente e depois baixa-o uma unidade, por isso integrar desfaz esses passos pela ordem inversa: o expoente sobe uma unidade e depois divides pelo novo expoente. Assim, 12x³ passa a 3x⁴, e derivar 3x⁴ devolve 12x³.
Qual é o erro mais comum na integração por substituição?: O erro mais comum é esquecer o número que acompanha o x dentro do parêntese. Em ∫(3x + 2)⁴ dx, subir o expoente dá (3x + 2)⁵ a dividir por 5, mas o parêntese cresce 3 vezes mais depressa do que x, por isso também divides por 3. O denominador é 3 × 5 = 15, não 5. Ao derivar (3x + 2)⁵ / 15, recuperas exatamente (3x + 2)⁴.
Quanto custa levar este jogo de cálculo integral para uma aula?: Nada: os três níveis, das potências isoladas à substituição, abrem num separador do navegador nos portáteis ou tablets da escola, sem contas para os alunos. Para praticar integrais no quadro, pede aos grupos funções cuja área de 0 a 2 seja exatamente 8. A constante 4, a reta 4x e a curva 3x² servem, com três formas muito diferentes. Com o plano para escolas, pago por aluno, um painel do professor mostra quem está a melhorar nos integrais.

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