O que significa d/dx?

d/dx significa «derivada em ordem a x»: é uma instrução para descobrir a rapidez com que aquilo que se segue varia quando x varia. Assim, d/dx [x³] = 3x², que se lê «a derivada de x ao cubo é três x ao quadrado». O d indica uma diferença minúscula, e por isso d/dx lembra um declive: uma variação de altura a dividir por uma variação de x.

Como se deriva um polinómio?

Um polinómio deriva-se termo a termo, aplicando a regra da potência a cada um. Em 3x² + 4x + 6, o 3x² passa a 6x, o 4x passa a 4 e o 6 desaparece, porque uma constante nunca varia. Assim, a derivada é 6x + 4, e o seu valor em x = 2 é 6 × 2 + 4 = 16.

Como decorar a regra do produto?

Pensa na regra do produto como uma troca de vez: derivas o primeiro fator enquanto o segundo espera, depois o segundo enquanto o primeiro espera, e somas os dois resultados. Em símbolos, (fg)′ = f′g + fg′. Testa-a com x² · x³: dá 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, exatamente o que obténs ao derivar x⁵ diretamente.

Porque é que erro sempre a regra da cadeia?

Quase todos os erros na regra da cadeia vêm de esquecer o interior do parêntese. Em (2x + 7)⁵, baixar o 5 dá 5(2x + 7)⁴, mas o interior, 2x + 7, também varia com x, a um ritmo de 2. Multiplica também por esse 2, e a derivada é 10(2x + 7)⁴. Deixar de fora esse ritmo interior é o deslize clássico.

Um professor pode usar este jogo com derivadas nas aulas sem pagar?

Pode, e não paga nada: os seis níveis funcionam no navegador de qualquer portátil ou tablet da escola, sem contas nem instalações. Para começar a praticar derivadas na aula, desenha y = x² no quadro e pede aos grupos o declive entre x = 3 e x = 4, depois até 3,5 e depois até 3,1. Obtêm 7, depois 6,5 e depois 6,1, cada vez mais perto de 6, a derivada em 3. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel do professor mostra quem está a melhorar.

Praticar matemática · reinventado

Jogo de derivadas

Este jogo com derivadas vai da regra da potência em x = 2 até às derivadas parciais, e cada resposta é um número inteiro de 2 a 200, nunca uma fórmula. Deriva mais depressa do que o teu rival, e o teu lutador ataca enquanto o outro ainda está a baixar expoentes.

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O que é uma derivada?

A derivada é a rapidez com que uma função varia num ponto exato, e, num gráfico, é o declive da curva nesse ponto. Escreve-se f′(x) ou d/dx. Pensa num velocímetro: enquanto um carro avança, a distância percorrida aumenta, e o ponteiro mostra a rapidez com que aumenta naquele preciso instante.

Todos os níveis de Derivada

Exemplo: a derivada de 5x³ em x = 2

Passa o expoente 3 para a frente e multiplica-o pelo 5: isso dá 15.
Depois baixa o expoente uma unidade, de 3 para 2, por isso a derivada é 15x².
Agora substitui x = 2: 2² é 4, e 15 × 4 = 60, por isso escreves 60.

Aprende passo a passo

Uma derivada mede quão depressa algo está a mudar — a inclinação da curva num ponto.

A regra da potência: d/dx de axⁿ é (a·n)·xⁿ⁻¹ — multiplica pelo expoente, depois baixa o expoente em um. Por isso d/dx de 3x² é 6x; em x = 2 isso é 12.

Aplica a regra, substitui o ponto e escreve o declive.

Dicas e erros comuns

Na regra da potência, o expoente desce sempre exatamente uma unidade: x⁴ dá um termo em x³, x² dá um termo em x, e um x sozinho dá um número.
Um erro comum é substituir cedo demais. Se puseres x = 2 em 4x³ primeiro, obténs 32, uma constante cuja derivada é 0. Deriva primeiro e substitui depois.
Com quem está a aprender, desenha y = x² em papel e encosta uma régua à curva em x = 1, 2 e 3. Fica mais inclinada de cada vez, tal como os declives 2, 4 e 6.

Como se joga

Uma ronda típica mostra d/dx [4x³] em x=2, e escreves no teclado o valor da derivada nesse ponto: 48. Nos níveis da regra da cadeia e do produto, escreves só o número da frente: a derivada de (3x + 1)⁵ é 15(3x + 1)⁴, por isso a resposta é 15. Acerta antes do teu rival e Brócolos ataca; quanto menos demorares, mais forte é o golpe.

— Respostas rápidas —

Derivada: o FAQ rápido

O que significa d/dx?: d/dx significa «derivada em ordem a x»: é uma instrução para descobrir a rapidez com que aquilo que se segue varia quando x varia. Assim, d/dx [x³] = 3x², que se lê «a derivada de x ao cubo é três x ao quadrado». O d indica uma diferença minúscula, e por isso d/dx lembra um declive: uma variação de altura a dividir por uma variação de x.
Como se deriva um polinómio?: Um polinómio deriva-se termo a termo, aplicando a regra da potência a cada um. Em 3x² + 4x + 6, o 3x² passa a 6x, o 4x passa a 4 e o 6 desaparece, porque uma constante nunca varia. Assim, a derivada é 6x + 4, e o seu valor em x = 2 é 6 × 2 + 4 = 16.
Como decorar a regra do produto?: Pensa na regra do produto como uma troca de vez: derivas o primeiro fator enquanto o segundo espera, depois o segundo enquanto o primeiro espera, e somas os dois resultados. Em símbolos, (fg)′ = f′g + fg′. Testa-a com x² · x³: dá 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, exatamente o que obténs ao derivar x⁵ diretamente.
Porque é que erro sempre a regra da cadeia?: Quase todos os erros na regra da cadeia vêm de esquecer o interior do parêntese. Em (2x + 7)⁵, baixar o 5 dá 5(2x + 7)⁴, mas o interior, 2x + 7, também varia com x, a um ritmo de 2. Multiplica também por esse 2, e a derivada é 10(2x + 7)⁴. Deixar de fora esse ritmo interior é o deslize clássico.
Um professor pode usar este jogo com derivadas nas aulas sem pagar?: Pode, e não paga nada: os seis níveis funcionam no navegador de qualquer portátil ou tablet da escola, sem contas nem instalações. Para começar a praticar derivadas na aula, desenha y = x² no quadro e pede aos grupos o declive entre x = 3 e x = 4, depois até 3,5 e depois até 3,1. Obtêm 7, depois 6,5 e depois 6,1, cada vez mais perto de 6, a derivada em 3. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel do professor mostra quem está a melhorar.

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