Praticar matemática · reinventado
Jogo de determinantes
Neste desafio de determinantes 2×2, cada matriz traz quatro algarismos de 1 a 9, mas o resultado pode cair em qualquer ponto entre −80 e 80. Cruza as diagonais antes do teu rival, e o teu lutador transforma ad − bc num murro.
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O que é um determinante?
Um determinante é um único número calculado a partir de uma matriz quadrada, ou seja, uma tabela com tantas linhas como colunas. Escreve-se det A ou |A|. Numa matriz 2×2, indica quanto as áreas se esticam: um determinante 6 torna cada figura seis vezes maior, um negativo também a espelha, e 0 achata-a por completo.
Exemplo: o determinante de [ 3 5 ; 8 1 ]
- A matriz tem 3 e 5 na linha de cima, e 8 e 1 por baixo.
- Multiplica a diagonal principal, 3 × 1 = 3, e depois a outra diagonal, 5 × 8 = 40.
- Subtrai o segundo produto do primeiro: 3 − 40 = −37.
- O determinante é −37, por isso escreve-lo com o sinal de menos à frente.
Aprende passo a passo
Uma matriz 2×2 é uma pequena grelha de quatro números, dispostos em duas linhas: a b em cima, c d em baixo. O seu determinante é um único número que mede a grelha, e há um padrão em cruz bem arrumado para o encontrar.
Multiplica a diagonal principal (canto superior esquerdo × canto inferior direito = a × d), depois subtrai a outra diagonal (canto superior direito × canto inferior esquerdo = b × c). Para [ 2 3 ; 1 4 ]: isso é (2 × 4) − (3 × 1) = 8 − 3 = 5. A resposta pode dar negativa — não faz mal, usa a tecla −.
Multiplica em cruz ambas as diagonais, subtrai e escreve o determinante.
Dicas e erros comuns
- Imagina a diagonal principal como uma descida do canto superior esquerdo ao inferior direito. Primeiro o produto da descida, depois o da subida: assim sai sempre ad − bc.
- Um erro frequente é multiplicar pelas linhas em vez das diagonais. Em [ 2 7 ; 1 5 ], as linhas dão 14 − 5 = 9, mas as diagonais dão 10 − 7 = 3.
- Distribui quatro cartas com números numa grelha 2×2 e vejam quem encontra primeiro o determinante. Depois troquem as duas linhas: o número mantém-se, mas muda de sinal.
Como se joga
Cada ronda mostra uma matriz 2×2 com algarismos de 1 a 9, como det [ 8 9 ; 8 1 ], e escreves o determinante no teclado, −64, com o sinal de menos incluído. O segundo nível pede uma linha vezes uma coluna: [2 4] · [2; 6] dá 28. O teu rival vê o mesmo problema; acerta primeiro e Vagem de Ervilha ataca, com mais força quanto mais cedo responderes.
— Respostas rápidas —
Determinante: o FAQ rápido
- O que significa um determinante igual a 0?
- Um determinante igual a 0 significa que a matriz achata o plano, e qualquer figura fica sem área nenhuma. Acontece quando uma linha é múltipla da outra. Em [ 2 3 ; 4 6 ], a linha de baixo é o dobro da de cima, e 2 × 6 − 3 × 4 = 0. Uma matriz assim não tem inversa, a matriz que desfaria o seu efeito.
- Como se multiplicam matrizes?
- Para multiplicar matrizes, cada linha da primeira cruza-se com cada coluna da segunda. Junta os seus elementos aos pares, ou seja, os números de dentro, multiplica cada par e soma os produtos: essa soma é um elemento do resultado. A linha [3 4] com a coluna [4; 2] dá 3 × 4 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20. O segundo nível pede exatamente um desses elementos.
- Porque é que o meu determinante sai com o sinal trocado?
- Um sinal errado quase sempre significa que os dois produtos foram subtraídos pela ordem inversa. O produto do canto superior esquerdo ao inferior direito vem sempre primeiro. Em [ 4 9 ; 2 3 ], isso dá 12 − 18 = −6, um determinante negativo. Se começares pela outra diagonal, obténs 6: o mesmo número com o sinal trocado.
- Em que idade se aprendem os determinantes?
- Em muitos sistemas de ensino, os determinantes 2×2 chegam nos últimos anos do secundário, e noutros ficam para uma primeira cadeira universitária de álgebra linear. Aqui, os níveis com matrizes destinam-se a quem tem 17 anos. Quem lida bem com números negativos e com a tabuada já pode começar.
- De que precisa uma turma para jogar com determinantes, e é grátis?
- Uma turma só precisa de um browser em portáteis, tablets ou telemóveis, e este jogo de álgebra linear é grátis, sem contas nem instalações. Para praticar determinantes de matrizes, projeta um mês do calendário no quadro e pede a cada aluno que marque um bloco diferente de 2×2 datas. Cada bloco dá −7, como mostra 3 × 11 − 4 × 10, e a turma pode provar porquê com álgebra. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel do professor mostra quem está a ficar mais rápido.
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