Jogo de combinatória

O que são arranjos e combinações?

Arranjos e combinações são duas formas de contar escolhas sem as escrever todas. Uma combinação é um grupo em que a ordem não importa: maçã e pera formam o mesmo par que pera e maçã. Um arranjo, que o jogo marca com P, é uma fila ordenada: comer primeiro a maçã e depois a pera não é o mesmo que o contrário.

Exemplo: quantos pares podes formar com 6?

1. O símbolo ₆C₂ pergunta quantos pares diferentes podes escolher entre 6 objetos quando a ordem não importa.
2. Escolhendo por ordem, tens 6 hipóteses para o primeiro e 5 para o segundo: 6 × 5 = 30 escolhas ordenadas.
3. Cada par foi contado duas vezes, como A e depois B e como B e depois A, por isso ficas com metade de 30 e escreves 15.

Dicas e erros comuns

• Em ₆P₃, o 3 pequeno diz-te quantos números multiplicar, a descer a partir de 6: 6 × 5 × 4 = 120. Para aí, não vás até ao 1.
• Um erro comum é contar as duas ordens numa combinação. Em ₄C₂, apontar AB e BA em separado dá 12; risca as repetições e ficam 6 pares.
• Num almoço de família, pergunta quantos apertos de mão há se cada pessoa cumprimentar todas as outras uma vez. Sete pessoas dão 21, ou seja ₇C₂, e cada convidado novo junta mais.

— Respostas rápidas —

Combinatória: o FAQ rápido

Qual é a diferença entre arranjo e combinação?

A diferença está em saber se trocar dois elementos escolhidos dá um resultado novo. Num arranjo dá, como no código de uma porta, onde 1-2-3 e 3-2-1 são códigos diferentes. Numa combinação não dá, como numa mão de cartas. Com 4 letras, ₄P₃ = 24 mas ₄C₃ = 4, porque cada grupo de 3 letras pode ser posto em fila de 6 maneiras.

Como se calculam combinações sem calculadora?

Conta as escolhas ordenadas e divide pelo número de maneiras de ordenar cada grupo. Para ₇C₃ há 7 × 6 × 5 = 210 escolhas ordenadas de três. Cada grupo de três ordena-se de 3 × 2 × 1 = 6 maneiras, logo ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35. Simplificar primeiro é mais rápido: o 6 de cima corta com o 6 de baixo e fica 7 × 5 = 35.

Há um truque para calcular combinações depressa?

Há: o triângulo de Pascal contém todas as combinações. Começa com um 1 no topo e escreve cada número novo como a soma dos dois que estão por cima. A linha 6, contando a do topo como linha 0, é 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1, logo ₆C₃ = 20. A linha é simétrica, por isso ₆C₄ = ₆C₂ = 15: escolher 4 para ficar é o mesmo que escolher 2 para deixar de fora.

Porque é que os alunos confundem arranjos e combinações?

Os alunos confundem-nos porque as duas perguntas costumam soar parecidas e o enunciado nem sempre diz se a ordem conta. Um caso pequeno tira a dúvida. Com A, B e C, os pares são AB, AC e BC, logo ₃C₂ = 3. As escolhas ordenadas são essas três mais BA, CA e CB, logo ₃P₂ = 6. Ver as duas listas lado a lado fixa a diferença.

Há alguma forma gratuita de levar a combinatória para a aula?

Há: os três níveis, incluindo a mistura olímpica, abrem gratuitamente em qualquer navegador, sem contas de aluno nem instalações. Para treinar a contagem no quadro, chama 5 voluntários e pergunta quantas comissões de 3 poderiam formar. Depois pergunta de quantas maneiras poderiam distribuir os cargos de presidente, secretário e tesoureiro. As respostas, 10 e 60, mostram que cada comissão se ordena de 6 maneiras. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel mostra ao professor quem está a melhorar.