Co mówi iloczyn skalarny dwóch wektorów?

Iloczyn skalarny mówi jedną liczbą, na ile dwa wektory są zgodne co do kierunku: to iloczyn ich długości i cosinusa kąta między nimi. Poniżej 90° jest dodatni, przy kącie prostym równy 0, a powyżej ujemny. Dla ⟨2; 6⟩ i ⟨3; −1⟩ wynosi 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, więc wektory są prostopadłe. W grze każda współrzędna ma wartość od 1 do 9, dlatego iloczyn jest zawsze dodatni.

Jak zamienić współrzędne biegunowe na kartezjańskie?

Aby otrzymać współrzędne kartezjańskie, pomnóż długość r przez cos θ, by dostać x, i przez sin θ, by dostać y. Współrzędne biegunowe opisują punkt odległością i kątem, a kartezjańskie krokiem w bok i krokiem w górę. Dla r = 12 i θ = 30° mamy y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Gra wybiera parzyste r i kąty, których sinus lub cosinus wynosi 0, ½ albo 1, czasem ze znakiem minus, więc wynik jest całkowity.

Czy jest sposób, żeby szybko obliczyć długość wektora?

Najszybszy sposób to rozpoznać trójkę pitagorejską kryjącą się za wektorem: trzy liczby całkowite, w których suma kwadratów dwóch pierwszych daje kwadrat trzeciej. Gra buduje wszystkie wektory z zaledwie pięciu trójek, np. 5, 12 i 13 albo 8, 15 i 17, lub z ich wielokrotności. Dlatego ⟨16; 12⟩ to cztery razy ⟨4; 3⟩, a jego długość to 4 × 5 = 20.

Dlaczego moja współrzędna x jest ujemna?

Ujemne x to dobra odpowiedź zawsze, gdy kąt przekracza 90°, bo strzałka wskazuje wtedy w lewo od punktu startu. Skoro cos 120° = −½, dla r = 8 i θ = 120° wychodzi x = 8 × (−½) = −4, a przy 180° x to cała długość ze znakiem minus. Wpisz ją klawiszem minus. Tutaj y nigdy nie jest ujemne, bo żaden kąt nie przekracza 180°.

Czy ta gra matematyczna o wektorach jest darmowa i jak użyć jej na lekcji?

Tak, wszystkie trzy poziomy z wektorami są darmowe w każdej przeglądarce i nikt nie musi się rejestrować ani niczego instalować. Na rozgrzewkę zapytaj klasę, ile strzałek o całkowitych współrzędnych ma długość dokładnie 13. Uczniowie szukają ich w parach, np. ⟨5; 12⟩ i ⟨−13; 0⟩, aż znajdą wszystkie 12; narysowane z jednego punktu, ich groty leżą na okręgu. Z planem dla szkół nauczyciel płaci za ucznia i widzi na panelu, kto robi postępy.

Nauka matematyki · na nowo

Gra z wektorami

W tej grze matematycznej o wektorach strzałki przychodzą jako pary liczb, np. ⟨24; 7⟩, albo jako długość i kąt, a każda odpowiedź jest liczbą całkowitą od −24 do 162. Bądź szybszy, a twój wojownik uderzy, gdy rywal wciąż podnosi do kwadratu i dodaje.

Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków

Wybierz swój poziom ▸

Co to jest wektor?

Wektor to wielkość, która ma długość, kierunek i zwrot, rysowana jako strzałka. Wiatr 20 km/h to tylko prędkość, dopóki nie powiesz, że wieje na północ; wtedy staje się wektorem. Dwie strzałki przedstawiają ten sam wektor, gdy mają tę samą długość, kierunek i zwrot, niezależnie od tego, gdzie się zaczynają.

Wszystkie poziomy: Wektory

Przykład: długość wektora ⟨24; 7⟩

Kreski wokół ⟨24; 7⟩ pytają o jego długość: strzałka idzie 24 w bok i 7 w górę.
Pomnóż każdą współrzędną przez nią samą: 24 × 24 = 576 i 7 × 7 = 49.
Dodaj oba kwadraty, co daje 625, i znajdź liczbę, która pomnożona przez siebie daje 625: to 25.
Strzałka ma długość 25, niewiele więcej niż jej 24 w bok, więc wpisujesz 25.

Krok po kroku

Wektor ⟨x, y⟩ to strzałka: idź x kroków w bok i y kroków w górę. Jego długość to po prostu jak DŁUGA jest ta strzałka, mierzona prosto od początku do grotu.

Ponieważ krok w bok i krok w górę tworzą kąt prosty, strzałka jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego — więc jej długość to √(x² + y²), twierdzenie Pitagorasa. Dla ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Są tak dobrane, by długość zawsze wychodziła całkowita.)

Podnieś każdą część do kwadratu, dodaj, weź pierwiastek i wpisz długość.

Wskazówki i częste błędy

Wyobraź sobie θ = 0°: strzałka leży płasko na osi x, więc x to cała długość r. Skoro cos 0° = 1, x idzie w parze z cos, a y z sin.
Częsty błąd to dodanie obu współrzędnych: ⟨12; 9⟩ nie ma długości 21, bo prosta strzałka ścina róg. Zamiast tego 144 + 81 = 225, a √225 = 15.
Ćwicz dodawanie wektorów na podłodze: przejdź 6 płytek, skręć pod kątem prostym, przejdź 8, czyli ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Sznurek z powrotem do startu mierzy 10 płytek.

Jak grać

Wektory pojawiają się w trzech postaciach: |⟨21; 20⟩| pyta o długość, 29; r=10, θ=120°, x=? czeka na −5, z klawiszem minus; ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ czeka na iloczyn skalarny, 39. Wpisz każdą liczbę całkowitą na klawiaturze przed rywalem, a Papryczka chili uderzy tym mocniej, im wcześniej dotrze twoja odpowiedź.

— Szybkie odpowiedzi —

Wektory: krótkie FAQ

Co mówi iloczyn skalarny dwóch wektorów?: Iloczyn skalarny mówi jedną liczbą, na ile dwa wektory są zgodne co do kierunku: to iloczyn ich długości i cosinusa kąta między nimi. Poniżej 90° jest dodatni, przy kącie prostym równy 0, a powyżej ujemny. Dla ⟨2; 6⟩ i ⟨3; −1⟩ wynosi 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, więc wektory są prostopadłe. W grze każda współrzędna ma wartość od 1 do 9, dlatego iloczyn jest zawsze dodatni.
Jak zamienić współrzędne biegunowe na kartezjańskie?: Aby otrzymać współrzędne kartezjańskie, pomnóż długość r przez cos θ, by dostać x, i przez sin θ, by dostać y. Współrzędne biegunowe opisują punkt odległością i kątem, a kartezjańskie krokiem w bok i krokiem w górę. Dla r = 12 i θ = 30° mamy y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Gra wybiera parzyste r i kąty, których sinus lub cosinus wynosi 0, ½ albo 1, czasem ze znakiem minus, więc wynik jest całkowity.
Czy jest sposób, żeby szybko obliczyć długość wektora?: Najszybszy sposób to rozpoznać trójkę pitagorejską kryjącą się za wektorem: trzy liczby całkowite, w których suma kwadratów dwóch pierwszych daje kwadrat trzeciej. Gra buduje wszystkie wektory z zaledwie pięciu trójek, np. 5, 12 i 13 albo 8, 15 i 17, lub z ich wielokrotności. Dlatego ⟨16; 12⟩ to cztery razy ⟨4; 3⟩, a jego długość to 4 × 5 = 20.
Dlaczego moja współrzędna x jest ujemna?: Ujemne x to dobra odpowiedź zawsze, gdy kąt przekracza 90°, bo strzałka wskazuje wtedy w lewo od punktu startu. Skoro cos 120° = −½, dla r = 8 i θ = 120° wychodzi x = 8 × (−½) = −4, a przy 180° x to cała długość ze znakiem minus. Wpisz ją klawiszem minus. Tutaj y nigdy nie jest ujemne, bo żaden kąt nie przekracza 180°.
Czy ta gra matematyczna o wektorach jest darmowa i jak użyć jej na lekcji?: Tak, wszystkie trzy poziomy z wektorami są darmowe w każdej przeglądarce i nikt nie musi się rejestrować ani niczego instalować. Na rozgrzewkę zapytaj klasę, ile strzałek o całkowitych współrzędnych ma długość dokładnie 13. Uczniowie szukają ich w parach, np. ⟨5; 12⟩ i ⟨−13; 0⟩, aż znajdą wszystkie 12; narysowane z jednego punktu, ich groty leżą na okręgu. Z planem dla szkół nauczyciel płaci za ucznia i widzi na panelu, kto robi postępy.

Więcej matematyki do opanowania

Gotowy do starcia?

Zagraj za darmo ▸