Co to jest szereg geometryczny?

Szereg geometryczny dodaje wyrazy, z których każdy powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę, zwaną ilorazem q. W 3 + 6 + 12 + 24 iloraz wynosi 2, a suma 45. Dla pierwszego wyrazu a, ilorazu q i n wyrazów suma to a(qⁿ − 1)/(q − 1), więc tutaj 3 × 15/1 = 45. Poziom z szeregiem geometrycznym w tej grze używa najprostszego przypadku: 1 + 2 + 4 + ⋯, z ilorazem 2.

Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?

Sumę ciągu arytmetycznego liczy się z trzech danych: pierwszego wyrazu, ostatniego i liczby wyrazów. Jeśli brakuje ostatniego, zbuduj go z różnicy r, stałego skoku między wyrazami: aₙ = a₁ + (n − 1)r. Dla 4 + 7 + 10 + ⋯ z 10 wyrazami ostatni to 4 + 9 × 3 = 31, więc suma to połowa 10 × 35, czyli 175.

Jak zapamiętać szereg funkcji eˣ?

Zapamiętaj go jako pasujące pary: każda potęga x stoi nad silnią tej samej liczby. Zatem eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, gdzie n!, czytane „n silnia”, to 1 × 2 × ⋯ × n. Dlatego wyraz z x⁵ stoi nad 5! = 120. Gdy podstawisz x = 1, wyrazy sumują się do samej liczby e, około 2,72.

Dlaczego uczniowie źle liczą wyrazy ciągu?

Wielu uczniów dzieli odległość przez skok i zapomina policzyć pierwszy wyraz. Od 5 do 50 co 3 jest 15 skoków, bo w 50 − 5 = 45 mieści się 15 trójek, ale wyrazów jest 16. Pomyśl o słupkach płotu: 15 przerw wymaga 16 słupków. Dlatego 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 ma 16 wyrazów i sumę 440, a nie 412,5.

Jak zacząć lekcję o ciągach od tej gry i czy jest darmowa?

Możesz zacząć od wyścigu przy tablicy, a gra nic nie kosztuje: każdy poziom działa w przeglądarce, bez rejestracji i pobierania. Na rozgrzewkę z sum ciągów arytmetycznych napisz 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ i niech klasa głośno podaje kolejne sumy częściowe: 1; 4; 9; 16; 25. Gdy uczniowie zauważą kwadraty, zapytaj o sumę 30 pierwszych liczb nieparzystych: 900. W planie dla szkół, z ceną za ucznia, panel pokazuje, kto robi postępy w sumach.

Nauka matematyki · na nowo

Gra z sumami ciągów

W tym wyzwaniu z sumami ciągów dodajesz naraz nawet 40 wyrazów ciągu arytmetycznego, a na szczycie czeka szereg funkcji e^x, w którym x⁷ stoi nad 5040. Dodawanie wyraz po wyrazie jest tu za wolne: pierwsza poprawna suma posyła twojego wojownika do ataku.

Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków

Wybierz swój poziom ▸

Czym jest szereg w matematyce?

Szereg to suma ciągu: liczby z uporządkowanej listy, zwane wyrazami, dodane do jednej sumy. Ciąg 3; 5; 7; 9 ma cztery wyrazy, ale szereg 3 + 5 + 7 + 9 to jedna liczba, 24. Szeregi bywają krótkie, długie, a nawet nieskończone, i często wzór daje sumę bez dodawania każdego wyrazu.

Wszystkie poziomy: Series

Przykład: 1 + 2 + 4 + ⋯, pięć wyrazów

Każdy wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego, więc pięć wyrazów to 1, 2, 4, 8 i 16.
Dodawaj je po kolei: 1 + 2 = 3, potem 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 i 15 + 16 = 31.
Sprawdź skrótem dla tego wzoru: 2⁵ = 32, a suma jest o jeden mniejsza, czyli 31.
Suma wynosi 31, więc wpisujesz 31 na klawiaturze.

Krok po kroku

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Wskazówki i częste błędy

Aby dodać 1 + 2 + ⋯ + n, pomnóż n przez następną liczbę i weź połowę: dla 1 + 2 + ⋯ + 12 to 12 × 13 = 156, a połowa to 78.
Częsty błąd to szukanie różnicy ciągu. Przy a₁ = 15, aₙ = 44 i n = 6 wynosi ona 5,8, a suma to po prostu połowa 6 × 59, czyli 177.
Z dala od ekranu wyzwij kogoś na wyścig: jedna osoba dodaje 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 wyraz po wyrazie, druga bierze połowę 10 × 22. Obie powinny dojść do 110.

Jak grać

Na pierwszym poziomie każda runda pokazuje sumę do dokończenia, np. „Suma: a₁=13, aₙ=37, n=12” z pierwszym wyrazem, ostatnim i ich liczbą, więc wpisujesz 300. Inny poziom działa jak gra z szeregami geometrycznymi w miniaturze: „1+2+4+⋯, 7 wyrazów, suma=?” wymaga 127. Wyprzedź rywala z wynikiem, a Pomidor uderza; szybka suma zamienia się w mocny cios.

— Szybkie odpowiedzi —

Series: krótkie FAQ

Co to jest szereg geometryczny?: Szereg geometryczny dodaje wyrazy, z których każdy powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę, zwaną ilorazem q. W 3 + 6 + 12 + 24 iloraz wynosi 2, a suma 45. Dla pierwszego wyrazu a, ilorazu q i n wyrazów suma to a(qⁿ − 1)/(q − 1), więc tutaj 3 × 15/1 = 45. Poziom z szeregiem geometrycznym w tej grze używa najprostszego przypadku: 1 + 2 + 4 + ⋯, z ilorazem 2.
Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?: Sumę ciągu arytmetycznego liczy się z trzech danych: pierwszego wyrazu, ostatniego i liczby wyrazów. Jeśli brakuje ostatniego, zbuduj go z różnicy r, stałego skoku między wyrazami: aₙ = a₁ + (n − 1)r. Dla 4 + 7 + 10 + ⋯ z 10 wyrazami ostatni to 4 + 9 × 3 = 31, więc suma to połowa 10 × 35, czyli 175.
Jak zapamiętać szereg funkcji eˣ?: Zapamiętaj go jako pasujące pary: każda potęga x stoi nad silnią tej samej liczby. Zatem e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, gdzie n!, czytane „n silnia”, to 1 × 2 × ⋯ × n. Dlatego wyraz z x⁵ stoi nad 5! = 120. Gdy podstawisz x = 1, wyrazy sumują się do samej liczby e, około 2,72.
Dlaczego uczniowie źle liczą wyrazy ciągu?: Wielu uczniów dzieli odległość przez skok i zapomina policzyć pierwszy wyraz. Od 5 do 50 co 3 jest 15 skoków, bo w 50 − 5 = 45 mieści się 15 trójek, ale wyrazów jest 16. Pomyśl o słupkach płotu: 15 przerw wymaga 16 słupków. Dlatego 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 ma 16 wyrazów i sumę 440, a nie 412,5.
Jak zacząć lekcję o ciągach od tej gry i czy jest darmowa?: Możesz zacząć od wyścigu przy tablicy, a gra nic nie kosztuje: każdy poziom działa w przeglądarce, bez rejestracji i pobierania. Na rozgrzewkę z sum ciągów arytmetycznych napisz 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ i niech klasa głośno podaje kolejne sumy częściowe: 1; 4; 9; 16; 25. Gdy uczniowie zauważą kwadraty, zapytaj o sumę 30 pierwszych liczb nieparzystych: 900. W planie dla szkół, z ceną za ucznia, panel pokazuje, kto robi postępy w sumach.

Więcej matematyki do opanowania

Gotowy do starcia?

Zagraj za darmo ▸