Co to jest układ równań liniowych?

Układ równań liniowych to kilka równań z tymi samymi niewiadomymi, które muszą być spełnione jednocześnie. Samo x + y = 12 ma nieskończenie wiele rozwiązań: 5 i 7, 9 i 3 i wiele innych. Dodaj x − y = 2, a oba równania spełnia już tylko para x = 7, y = 5. Na wykresie ta para to punkt przecięcia dwóch prostych.

Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników?

W metodzie przeciwnych współczynników sprawiasz, że jedna niewiadoma się redukuje, a potem wyznaczasz drugą. W układzie 3x + 2y = 16 i x − y = 2 wyrazy z y jeszcze się nie redukują. Pomnóż drugie równanie przez 2, aby dostać 2x − 2y = 4, i dodaj oba: 5x = 20, więc x = 4. Po wstawieniu 4 do x − y = 2 wychodzi y = 2.

Jak zapamiętać, która różnica jest na górze we wzorze na nachylenie?

Sprawdź wzór na prostej, którą już znasz. Prosta y = 2x przechodzi przez (0; 0) i (1; 2), więc wznosi się o 2 na każdą 1 w prawo, a jej współczynnik kierunkowy musi wynosić 2. Tak wychodzi tylko z 2 przez 1, nigdy z 1 przez 2: różnica wartości y zawsze jest na górze, a różnica wartości x na dole.

Dlaczego moje dziecko uważa, że ujemne nachylenie jest mniej strome?

Wielu uczniów uważa −4 za łagodniejsze nachylenie niż 2, bo −4 to mniejsza liczba. Stromość zależy jednak od wartości bezwzględnej współczynnika, bez znaku: przy −4 prosta opada o 4 na każdy krok w prawo, a przy 2 wznosi się tylko o 2. Porównuj wartości bezwzględne, żeby ocenić stromość, a znak wykorzystuj tylko do tego, by wiedzieć, czy prosta rośnie, czy maleje.

Czy nauczyciel może za darmo używać tej gry o funkcji liniowej na lekcji?

Tak, może: oba poziomy są darmowe i działają w przeglądarce, którą szkolne urządzenia już mają, bez rejestracji i pobierania. Aby poćwiczyć nachylenie przy tablicy, narysuj siatkę, zaznacz (0; 1) i poproś uczniów o punkty, dla których współczynnik kierunkowy prostej przez ten punkt wynosi 2. Odpowiedzi takie jak (2; 5) czy (−1; −1) leżą na jednej prostej. W planie dla szkół, płatnym za ucznia, panel nauczyciela pokazuje, kto pewniej radzi sobie z nachyleniem.

Nauka matematyki · na nowo

Gra z funkcją liniową

W tym pojedynku z funkcją liniową współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty zawsze jest liczbą całkowitą od −4 do 4, nigdy 0, a każdy układ łączy x + y z x − y. Rywal dostaje te same punkty: odczytaj prostą szybciej, a twój wojownik uderzy pierwszy.

Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków

Wybierz swój poziom ▸

Co to jest funkcja liniowa?

Funkcja liniowa to reguła, w której y zmienia się zawsze o tyle samo, gdy x rośnie o 1, dlatego jej wykresem jest prosta. Zapisuje się ją jako y = ax + b: a to współczynnik kierunkowy, czyli nachylenie, a b mówi, gdzie prosta przecina oś y. Świeca o wysokości 20 cm, która spala się o 2 cm na godzinę, spełnia wzór y = 20 − 2x.

Wszystkie poziomy: Linear functions

Przykład: x + y = 17 i x − y = 9

Gra pokazuje naraz dwa równania i pyta tylko o x: x + y = 17 i x − y = 9.
Dodaj oba równania stronami: +y i −y się redukują, po lewej zostaje 2x, a po prawej 17 + 9 = 26.
Skoro 2x = 26, to x jest połową 26, czyli x = 13.
Sprawdź z y = 17 − 13 = 4: ponieważ 13 − 4 = 9, oba równania są spełnione, więc wpisujesz 13.

Krok po kroku

Slope is how steep a line is, and it is measured as rise over run: how far the line climbs for every step it takes sideways.

Given two points, subtract the y-values to get the rise and the x-values to get the run, then divide. From (1; 2) to (4; 11): the rise is 11 − 2 = 9, the run is 4 − 1 = 3, so the slope is 3. The line goes up three for every one across.

Order matters only in that you must be consistent — start at the same point for both subtractions, or you will get the sign backwards.

A positive slope climbs to the right and a negative one falls. The number is a rate: on a distance-time graph it is speed, on a cost graph it is price per item.

Find the rise, find the run, divide, and type the slope.

Wskazówki i częste błędy

Patrz na znak przed y. Przy przeciwnych znakach, jak +y i −y, y znika po dodaniu równań stronami; przy takich samych znakach – po ich odjęciu.
Częsty błąd to zatrzymanie się na 2x = 30 i wpisanie 30. Dodanie równań daje podwojony x, więc przed odpowiedzią podziel wynik na pół: x = 15.
Aby poćwiczyć wykresy prostych w domu, narysujcie y = 2x + 1 na papierze w kratkę dla x od 0 do 3. Każdy punkt leży 2 kratki wyżej, a linijka łączy je wszystkie.

Jak grać

Poziom z nachyleniem pokazuje dwa punkty, na przykład „Nachylenie od (2; 5) do (4; 3)”, a ty wpisujesz −1, z klawiszem minus dla prostych, które opadają. Drugi poziom to gra w układy równań: przy x + y = 22 i x − y = 8 wpisujesz tylko x, czyli 15. Odpowiedz przed rywalem, a Grzyb uderzy, tym mocniej, im szybciej to zrobisz.

— Szybkie odpowiedzi —

Linear functions: krótkie FAQ

Co to jest układ równań liniowych?: Układ równań liniowych to kilka równań z tymi samymi niewiadomymi, które muszą być spełnione jednocześnie. Samo x + y = 12 ma nieskończenie wiele rozwiązań: 5 i 7, 9 i 3 i wiele innych. Dodaj x − y = 2, a oba równania spełnia już tylko para x = 7, y = 5. Na wykresie ta para to punkt przecięcia dwóch prostych.
Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników?: W metodzie przeciwnych współczynników sprawiasz, że jedna niewiadoma się redukuje, a potem wyznaczasz drugą. W układzie 3x + 2y = 16 i x − y = 2 wyrazy z y jeszcze się nie redukują. Pomnóż drugie równanie przez 2, aby dostać 2x − 2y = 4, i dodaj oba: 5x = 20, więc x = 4. Po wstawieniu 4 do x − y = 2 wychodzi y = 2.
Jak zapamiętać, która różnica jest na górze we wzorze na nachylenie?: Sprawdź wzór na prostej, którą już znasz. Prosta y = 2x przechodzi przez (0; 0) i (1; 2), więc wznosi się o 2 na każdą 1 w prawo, a jej współczynnik kierunkowy musi wynosić 2. Tak wychodzi tylko z 2 przez 1, nigdy z 1 przez 2: różnica wartości y zawsze jest na górze, a różnica wartości x na dole.
Dlaczego moje dziecko uważa, że ujemne nachylenie jest mniej strome?: Wielu uczniów uważa −4 za łagodniejsze nachylenie niż 2, bo −4 to mniejsza liczba. Stromość zależy jednak od wartości bezwzględnej współczynnika, bez znaku: przy −4 prosta opada o 4 na każdy krok w prawo, a przy 2 wznosi się tylko o 2. Porównuj wartości bezwzględne, żeby ocenić stromość, a znak wykorzystuj tylko do tego, by wiedzieć, czy prosta rośnie, czy maleje.
Czy nauczyciel może za darmo używać tej gry o funkcji liniowej na lekcji?: Tak, może: oba poziomy są darmowe i działają w przeglądarce, którą szkolne urządzenia już mają, bez rejestracji i pobierania. Aby poćwiczyć nachylenie przy tablicy, narysuj siatkę, zaznacz (0; 1) i poproś uczniów o punkty, dla których współczynnik kierunkowy prostej przez ten punkt wynosi 2. Odpowiedzi takie jak (2; 5) czy (−1; −1) leżą na jednej prostej. W planie dla szkół, płatnym za ucznia, panel nauczyciela pokazuje, kto pewniej radzi sobie z nachyleniem.

Więcej matematyki do opanowania

Gotowy do starcia?

Zagraj za darmo ▸