d/dx oznacza „pochodną względem x”: to polecenie, by sprawdzić, jak szybko zmienia się to, co następuje, gdy zmienia się x. Zatem d/dx [x³] = 3x², co czytamy „pochodna x do sześcianu to trzy x kwadrat”. Litera d oznacza maleńką różnicę, dlatego d/dx przypomina nachylenie: zmianę wysokości podzieloną przez zmianę x.

Jak obliczyć pochodną wielomianu?

Wielomian różniczkuje się wyraz po wyrazie, stosując do każdego wzór na pochodną potęgi. W 3x² + 4x + 6 wyraz 3x² przechodzi w 6x, 4x przechodzi w 4, a 6 znika, bo stała nigdy się nie zmienia. Pochodna to więc 6x + 4, a jej wartość w x = 2 wynosi 6 · 2 + 4 = 16.

Jak zapamiętać wzór na pochodną iloczynu?

Zapamiętaj pochodną iloczynu jako pracę na zmianę: różniczkujesz pierwszy czynnik, a drugi czeka, potem drugi, a czeka pierwszy, i dodajesz oba wyniki. Symbolicznie: (fg)′ = f′g + fg′. Sprawdź to na x² · x³: wychodzi 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, dokładnie tyle, ile daje bezpośrednie różniczkowanie x⁵.

Dlaczego ciągle mylę się przy pochodnej funkcji złożonej?

Większość błędów przy pochodnej funkcji złożonej bierze się z zapominania o wnętrzu nawiasu. Dla (2x + 7)⁵ przeniesienie 5 przed nawias daje 5(2x + 7)⁴, ale wnętrze, 2x + 7, też zmienia się wraz z x, w tempie 2. Pomnóż jeszcze przez tę 2, a pochodna wyniesie 10(2x + 7)⁴. Pominięcie pochodnej wnętrza to klasyczny błąd.

Czy nauczyciel matematyki może za darmo używać tej gry z pochodnymi?

Tak, bez żadnych opłat: każdy z sześciu poziomów działa w przeglądarce szkolnego laptopa czy tabletu, bez kont i pobierania. Na rozgrzewkę z różniczkowania narysuj na tablicy y = x² i poproś grupy o nachylenie między x = 3 a x = 4, potem do 3,5, a potem do 3,1. Wychodzi 7, potem 6,5 i 6,1, coraz bliżej 6, czyli pochodnej w 3. Z planem dla szkół, rozliczanym za ucznia, panel nauczyciela pokazuje, kto robi postępy.

Nauka matematyki · na nowo

Gra z pochodnymi

Ta gra o pochodnych prowadzi od pochodnej potęgi w punkcie x = 2 aż po pochodne cząstkowe, a każda odpowiedź to liczba całkowita od 2 do 200, nigdy wzór. Różniczkuj szybciej niż rywal, a twój wojownik uderzy, zanim tamten zdąży przenieść wykładnik przed x.

Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków

Wybierz swój poziom ▸

Co to jest pochodna?

Pochodna mówi, jak szybko funkcja zmienia się w jednym konkretnym punkcie, a na wykresie jest nachyleniem krzywej w tym punkcie. Zapisujemy ją jako f′(x) albo d/dx. Pomyśl o prędkościomierzu: gdy samochód jedzie, przebyta droga rośnie, a wskazówka pokazuje, jak szybko rośnie dokładnie w tej chwili.

Wszystkie poziomy: Pochodna

Przykład: pochodna 5x³ w punkcie x = 2

Przenieś wykładnik 3 przed x i pomnóż go przez 5: wychodzi 15.
Potem zmniejsz wykładnik o jeden, z 3 do 2, więc pochodna to 15x².
Teraz podstaw x = 2: 2² to 4, a 15 · 4 = 60, więc wpisujesz 60.

Krok po kroku

Pochodna mierzy, jak szybko coś się zmienia — stromość krzywej w punkcie.

Reguła potęgi: d/dx z axⁿ to (a·n)·xⁿ⁻¹ — pomnóż przez wykładnik, potem obniż wykładnik o jeden. Więc d/dx z 3x² to 6x; w x = 2 to 12.

Zastosuj regułę, podstaw punkt i wpisz nachylenie.

Wskazówki i częste błędy

We wzorze na pochodną potęgi wykładnik zawsze spada dokładnie o jeden: x⁴ daje wyraz z x³, x² wyraz z x, a samo x zwykłą liczbę.
Częsty błąd to zbyt wczesne podstawianie. Gdy od razu wstawisz x = 2 do 4x³, dostaniesz 32, stałą o pochodnej 0. Najpierw różniczkuj, potem podstawiaj.
Narysuj z uczniem y = x² na kartce i przyłóż linijkę do krzywej w x = 1, 2 i 3. Za każdym razem stoi bardziej stromo, zgodnie z nachyleniami 2, 4 i 6.

Jak grać

Typowa runda pokazuje d/dx [4x³] dla x=2, a ty wpisujesz wartość pochodnej w tym punkcie: 48. Na poziomach z pochodną funkcji złożonej i iloczynu wpisujesz tylko liczbę z przodu: pochodna (3x + 1)⁵ to 15(3x + 1)⁴, więc wpisujesz 15. Odpowiedz poprawnie przed rywalem, a Brokuł zaatakuje; im mniej czasu zużyjesz, tym mocniejszy cios.

— Szybkie odpowiedzi —

Pochodna: krótkie FAQ

Co oznacza d/dx?: d/dx oznacza „pochodną względem x”: to polecenie, by sprawdzić, jak szybko zmienia się to, co następuje, gdy zmienia się x. Zatem d/dx [x³] = 3x², co czytamy „pochodna x do sześcianu to trzy x kwadrat”. Litera d oznacza maleńką różnicę, dlatego d/dx przypomina nachylenie: zmianę wysokości podzieloną przez zmianę x.
Jak obliczyć pochodną wielomianu?: Wielomian różniczkuje się wyraz po wyrazie, stosując do każdego wzór na pochodną potęgi. W 3x² + 4x + 6 wyraz 3x² przechodzi w 6x, 4x przechodzi w 4, a 6 znika, bo stała nigdy się nie zmienia. Pochodna to więc 6x + 4, a jej wartość w x = 2 wynosi 6 · 2 + 4 = 16.
Jak zapamiętać wzór na pochodną iloczynu?: Zapamiętaj pochodną iloczynu jako pracę na zmianę: różniczkujesz pierwszy czynnik, a drugi czeka, potem drugi, a czeka pierwszy, i dodajesz oba wyniki. Symbolicznie: (fg)′ = f′g + fg′. Sprawdź to na x² · x³: wychodzi 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, dokładnie tyle, ile daje bezpośrednie różniczkowanie x⁵.
Dlaczego ciągle mylę się przy pochodnej funkcji złożonej?: Większość błędów przy pochodnej funkcji złożonej bierze się z zapominania o wnętrzu nawiasu. Dla (2x + 7)⁵ przeniesienie 5 przed nawias daje 5(2x + 7)⁴, ale wnętrze, 2x + 7, też zmienia się wraz z x, w tempie 2. Pomnóż jeszcze przez tę 2, a pochodna wyniesie 10(2x + 7)⁴. Pominięcie pochodnej wnętrza to klasyczny błąd.
Czy nauczyciel matematyki może za darmo używać tej gry z pochodnymi?: Tak, bez żadnych opłat: każdy z sześciu poziomów działa w przeglądarce szkolnego laptopa czy tabletu, bez kont i pobierania. Na rozgrzewkę z różniczkowania narysuj na tablicy y = x² i poproś grupy o nachylenie między x = 3 a x = 4, potem do 3,5, a potem do 3,1. Wychodzi 7, potem 6,5 i 6,1, coraz bliżej 6, czyli pochodnej w 3. Z planem dla szkół, rozliczanym za ucznia, panel nauczyciela pokazuje, kto robi postępy.

Więcej matematyki do opanowania

Gotowy do starcia?

Zagraj za darmo ▸