Co oznacza dx w całce?

W całce dx wskazuje zmienną, wzdłuż której sumujesz, i oznacza bardzo małą szerokość w kierunku x. Zatem ∫ 6x² dx czyta się jako sumę pasków, każdy o wysokości 6x² i szerokości dx. Zwężaj paski coraz bardziej, a ich suma stanie się dokładnym polem. Bez dx całka nie mówiłaby, w którym kierunku ciąć.

Jak obliczyć całkę oznaczoną?

Całkę oznaczoną liczy się w trzech krokach. Znajdź funkcję pierwotną, czyli taką, której pochodna jest funkcją pod całką. Wstaw górną granicę i odejmij wartość w dolnej granicy. Dla 2x od 1 do 3 funkcją pierwotną jest x², więc 9 − 1 = 8. W tej grze dolna granica to zawsze 0, gdzie te funkcje pierwotne są równe 0.

Jak zapamiętać wzór na całkę z potęgi?

Pomyśl o skarpetkach i butach: najpierw zakładasz skarpetki, ale najpierw zdejmujesz buty. Różniczkowanie mnoży przez wykładnik, a potem zmniejsza go o jeden, więc całkowanie cofa te kroki w odwrotnej kolejności: wykładnik rośnie o jeden, a potem dzielisz przez nowy wykładnik. Tak 12x³ zmienia się w 3x⁴, a pochodna 3x⁴ znów daje 12x³.

Jaki jest najczęstszy błąd przy całkowaniu przez podstawienie?

Najczęstszy błąd to zapomnienie o liczbie stojącej przed x w nawiasie. W ∫(3x + 2)⁴ dx podniesienie wykładnika daje (3x + 2)⁵ podzielone przez 5, ale nawias rośnie 3 razy szybciej niż x, więc trzeba też podzielić przez 3. Mianownik to 3 × 5 = 15, a nie 5. Różniczkując (3x + 2)⁵ / 15, dostajesz dokładnie (3x + 2)⁴.

Ile kosztuje używanie tej gry o rachunku całkowym na lekcji?

Nic: wszystkie trzy poziomy, od pojedynczych potęg po podstawienie, otwierają się w karcie przeglądarki na szkolnych laptopach lub tabletach, bez kont uczniowskich. Żeby poćwiczyć całkowanie przy tablicy, poproś grupy o funkcje, których pole od 0 do 2 wynosi dokładnie 8. Stała 4, prosta 4x i krzywa 3x² pasują, a każda ma zupełnie inny kształt. Z planem dla szkół, płatnym za ucznia, panel nauczyciela pokazuje, kto robi postępy w całkach.

Nauka matematyki · na nowo

Gra z całkami

W tej grze o całkach każde pole zaczyna się w x = 0 i kończy w 2 albo 3, a poziom z podstawieniem pyta tylko o mianownik. Rywal całkuje tę samą funkcję, więc każdy krok, który oszczędzisz, pozwala twojemu wojownikowi uderzyć pierwszemu.

Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków

Wybierz swój poziom ▸

Co to jest całka?

Całka sumuje wielkość, która cały czas się zmienia. Gdy wykres leży nad osią x, całka oznaczona daje pole pod nim między dwiema wartościami x, zwanymi granicami całkowania. Wyobraź sobie wykres prędkości samochodu podczas podróży: pole pod tym wykresem to przejechana droga.

Wszystkie poziomy: Całka

Przykład: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Całkuj wyraz po wyrazie: 3x² zmienia się w x³, 8x w 4x², a samotna piątka w 5x.
Wstaw górną granicę, x = 2, do x³ + 4x² + 5x: wychodzi 8 + 16 + 10 = 34.
Przy dolnej granicy, x = 0, każdy wyraz jest równy 0, więc nic nie odejmujesz i wpisujesz 34.

Krok po kroku

Całkowanie to różniczkowanie wspak — sumuje maleńkie wycinki, by znaleźć POLE pod krzywą.

Reguła potęgi się odwraca: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — podnieś wykładnik o jeden, potem podziel przez nowy wykładnik. Dla ∫2x dx od 0 do 3: to x² obliczone w 3 → 9.

Scałkuj, oblicz w górnej granicy (dolna to tu 0) i wpisz pole.

Wskazówki i częste błędy

Czytaj symbole jak zdanie: ∫ to wydłużone S od „suma”, a dx to bardzo mała szerokość. Zatem ∫ 6x² dx oznacza sumowanie cienkich pasków o wysokości 6x².
Częsty błąd to mnożenie przez nowy wykładnik zamiast dzielenia. Całka z 6x² to 2x³, a nie 18x³; zróżniczkuj wynik, a powinno wyjść z powrotem 6x².
Na papierze w kratkę narysuj prostą y = x od 0 do 6 i policz kratki pod nią. Trójkąt zajmuje 18, dokładnie tyle, ile przewiduje x²/2 dla 6.

Jak grać

Na dwóch pierwszych poziomach każda runda pokazuje pole do policzenia, na przykład ∫(0→3) 8x³ dx, a ty wpisujesz na klawiaturze liczbę całkowitą, którą ono wynosi: 162. Poziom z podstawieniem pokazuje ∫(2x+5)³ dx i chce tylko mianownika wyniku: 8. Odpowiedz przed rywalem, a Marchew uderza, i to tym mocniej, im wcześniej trafisz.

— Szybkie odpowiedzi —

Całka: krótkie FAQ

Co oznacza dx w całce?: W całce dx wskazuje zmienną, wzdłuż której sumujesz, i oznacza bardzo małą szerokość w kierunku x. Zatem ∫ 6x² dx czyta się jako sumę pasków, każdy o wysokości 6x² i szerokości dx. Zwężaj paski coraz bardziej, a ich suma stanie się dokładnym polem. Bez dx całka nie mówiłaby, w którym kierunku ciąć.
Jak obliczyć całkę oznaczoną?: Całkę oznaczoną liczy się w trzech krokach. Znajdź funkcję pierwotną, czyli taką, której pochodna jest funkcją pod całką. Wstaw górną granicę i odejmij wartość w dolnej granicy. Dla 2x od 1 do 3 funkcją pierwotną jest x², więc 9 − 1 = 8. W tej grze dolna granica to zawsze 0, gdzie te funkcje pierwotne są równe 0.
Jak zapamiętać wzór na całkę z potęgi?: Pomyśl o skarpetkach i butach: najpierw zakładasz skarpetki, ale najpierw zdejmujesz buty. Różniczkowanie mnoży przez wykładnik, a potem zmniejsza go o jeden, więc całkowanie cofa te kroki w odwrotnej kolejności: wykładnik rośnie o jeden, a potem dzielisz przez nowy wykładnik. Tak 12x³ zmienia się w 3x⁴, a pochodna 3x⁴ znów daje 12x³.
Jaki jest najczęstszy błąd przy całkowaniu przez podstawienie?: Najczęstszy błąd to zapomnienie o liczbie stojącej przed x w nawiasie. W ∫(3x + 2)⁴ dx podniesienie wykładnika daje (3x + 2)⁵ podzielone przez 5, ale nawias rośnie 3 razy szybciej niż x, więc trzeba też podzielić przez 3. Mianownik to 3 × 5 = 15, a nie 5. Różniczkując (3x + 2)⁵ / 15, dostajesz dokładnie (3x + 2)⁴.
Ile kosztuje używanie tej gry o rachunku całkowym na lekcji?: Nic: wszystkie trzy poziomy, od pojedynczych potęg po podstawienie, otwierają się w karcie przeglądarki na szkolnych laptopach lub tabletach, bez kont uczniowskich. Żeby poćwiczyć całkowanie przy tablicy, poproś grupy o funkcje, których pole od 0 do 2 wynosi dokładnie 8. Stała 4, prosta 4x i krzywa 3x² pasują, a każda ma zupełnie inny kształt. Z planem dla szkół, płatnym za ucznia, panel nauczyciela pokazuje, kto robi postępy w całkach.

Więcej matematyki do opanowania

Gotowy do starcia?

Zagraj za darmo ▸