Czym różni się wariacja od kombinacji?

Różnica polega na tym, czy zamiana dwóch wybranych elementów daje nowy wynik. W wariacji tak, jak w kodzie do drzwi, gdzie 1-2-3 i 3-2-1 to dwa różne kody. W kombinacji nie, jak w kartach trzymanych w ręce. Z 4 liter ₄P₃ = 24, ale ₄C₃ = 4, bo każdą grupę 3 liter można ustawić w 6 kolejnościach.

Jak obliczyć kombinacje bez kalkulatora?

Policz uporządkowane wybory i podziel przez liczbę sposobów ustawienia każdej grupy. Dla ₇C₃ jest 7 × 6 × 5 = 210 uporządkowanych wyborów trzech elementów. Każdą trójkę można ustawić na 3 × 2 × 1 = 6 sposobów, więc ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Szybciej jest najpierw skrócić: 6 na górze skraca się z 6 na dole i zostaje 7 × 5 = 35.

Czy jest trik na szybkie obliczanie symbolu Newtona?

Tak, trójkąt Pascala zawiera wszystkie kombinacje. Zacznij od 1 na górze i zapisuj każdą nową liczbę jako sumę dwóch liczb nad nią. Wiersz 6, jeśli górny wiersz liczysz jako zerowy, to 1, 6, 15, 20, 15, 6 i 1, więc ₆C₃ = 20. Wiersz jest symetryczny, dlatego ₆C₄ = ₆C₂ = 15: wybrać 4 do zatrzymania to to samo, co wybrać 2 do odrzucenia.

Dlaczego uczniowie mylą wariacje z kombinacjami?

Uczniowie je mylą, bo oba pytania często brzmią podobnie, a treść zadania nie zawsze mówi, czy kolejność się liczy. Mały przykład wszystko wyjaśnia. Z A, B i C pary to AB, AC i BC, więc ₃C₂ = 3. Uporządkowane wybory to te trzy oraz BA, CA i CB, więc ₃P₂ = 6. Obie listy obok siebie utrwalają różnicę.

Czy da się za darmo wprowadzić kombinatorykę na lekcję?

Da się: wszystkie trzy poziomy, łącznie z olimpijską mieszanką, otwierają się za darmo w każdej przeglądarce, bez kont uczniów i bez instalacji. Żeby poćwiczyć liczenie przy tablicy, poproś 5 ochotników i zapytaj, ile trzyosobowych komisji mogą utworzyć. Potem zapytaj, na ile sposobów mogą podzielić funkcje przewodniczącego, sekretarza i skarbnika. Odpowiedzi, 10 i 60, pokazują, że każdą komisję da się ustawić na 6 sposobów. W planie dla szkół, rozliczanym za ucznia, panel pokazuje nauczycielowi, kto robi postępy.

Nauka matematyki · na nowo

Gra z kombinatoryki

W tym wyzwaniu z kombinatoryki nigdy nie wybierasz spośród więcej niż 8 elementów, a mimo to odpowiedzi rosną od 4 aż do 1680, czyli wartości ₈P₄ na poziomie olimpijskim. Policz każdy przypadek przed rywalem, a każda trafna odpowiedź zamieni się w cios twojego wojownika.

Wiek 4–99+ · bez pobierania · gra w przeglądarce · 23 języków

Wybierz swój poziom ▸

Czym są kombinacje i wariacje?

Kombinacje i wariacje to dwa sposoby liczenia wyborów bez wypisywania ich wszystkich. Kombinacja to grupa, w której kolejność nie ma znaczenia: jabłko i gruszka to ta sama para co gruszka i jabłko. Wariacja bez powtórzeń, którą gra oznacza literą P, to uporządkowany szereg: zjedzenie najpierw jabłka, a potem gruszki, to co innego niż odwrotnie.

Wszystkie poziomy: Kombinatoryka

Przykład: ile par można wybrać z 6?

Symbol ₆C₂ pyta, ile różnych par możesz wybrać spośród 6 rzeczy, gdy kolejność nie ma znaczenia.
Jeśli wybierasz po kolei, masz 6 możliwości na pierwszą rzecz i 5 na drugą: 6 × 5 = 30 uporządkowanych wyborów.
Każdą parę policzono dwa razy, jako A potem B i jako B potem A, więc bierzesz połowę z 30 i wpisujesz 15.

Krok po kroku

nCk liczy, na ile sposobów WYBRAĆ k rzeczy z n, gdy kolejność nie ma znaczenia — jak wybór drużyny, gdzie nieważne, kto jest wymieniony pierwszy.

5C2 („wybierz 2 z 5”) = 10. Wzór to n! : (k! × (n−k)!), ale idea jest prosta: ile różnych grup można utworzyć?

Wpisz liczbę możliwych grup.

Wskazówki i częste błędy

W ₆P₃ mała trójka mówi, ile liczb mnożysz, schodząc od 6 w dół: 6 × 5 × 4 = 120. Zatrzymaj się tam, nie schodź do 1.
Częsty błąd to liczenie obu kolejności w kombinacji. Kto przy ₄C₂ zapisze AB i BA osobno, dostanie 12; skreśl powtórki, a zostanie 6 par.
Przy rodzinnym obiedzie zapytaj, ile będzie uścisków dłoni, jeśli każdy przywita się z każdym raz. Siedem osób daje 21, czyli ₇C₂, a każdy nowy gość dokłada kolejne.

Jak grać

Każda runda pokazuje symbol taki jak ₇C₃ albo ₄P₂: mała liczba po lewej mówi, ile jest elementów, a ta po prawej, ile wybierasz. Wpisz wynik na klawiaturze i najpierw spójrz na literę, bo poziom olimpijski miesza C i P. Liczy się tylko pierwsza poprawna odpowiedź, a Brokuł uderza tym mocniej, im wcześniej ona padnie.

— Szybkie odpowiedzi —

Kombinatoryka: krótkie FAQ

Czym różni się wariacja od kombinacji?: Różnica polega na tym, czy zamiana dwóch wybranych elementów daje nowy wynik. W wariacji tak, jak w kodzie do drzwi, gdzie 1-2-3 i 3-2-1 to dwa różne kody. W kombinacji nie, jak w kartach trzymanych w ręce. Z 4 liter ₄P₃ = 24, ale ₄C₃ = 4, bo każdą grupę 3 liter można ustawić w 6 kolejnościach.
Jak obliczyć kombinacje bez kalkulatora?: Policz uporządkowane wybory i podziel przez liczbę sposobów ustawienia każdej grupy. Dla ₇C₃ jest 7 × 6 × 5 = 210 uporządkowanych wyborów trzech elementów. Każdą trójkę można ustawić na 3 × 2 × 1 = 6 sposobów, więc ₇C₃ = 210 : 6 = 35. Szybciej jest najpierw skrócić: 6 na górze skraca się z 6 na dole i zostaje 7 × 5 = 35.
Czy jest trik na szybkie obliczanie symbolu Newtona?: Tak, trójkąt Pascala zawiera wszystkie kombinacje. Zacznij od 1 na górze i zapisuj każdą nową liczbę jako sumę dwóch liczb nad nią. Wiersz 6, jeśli górny wiersz liczysz jako zerowy, to 1, 6, 15, 20, 15, 6 i 1, więc ₆C₃ = 20. Wiersz jest symetryczny, dlatego ₆C₄ = ₆C₂ = 15: wybrać 4 do zatrzymania to to samo, co wybrać 2 do odrzucenia.
Dlaczego uczniowie mylą wariacje z kombinacjami?: Uczniowie je mylą, bo oba pytania często brzmią podobnie, a treść zadania nie zawsze mówi, czy kolejność się liczy. Mały przykład wszystko wyjaśnia. Z A, B i C pary to AB, AC i BC, więc ₃C₂ = 3. Uporządkowane wybory to te trzy oraz BA, CA i CB, więc ₃P₂ = 6. Obie listy obok siebie utrwalają różnicę.
Czy da się za darmo wprowadzić kombinatorykę na lekcję?: Da się: wszystkie trzy poziomy, łącznie z olimpijską mieszanką, otwierają się za darmo w każdej przeglądarce, bez kont uczniów i bez instalacji. Żeby poćwiczyć liczenie przy tablicy, poproś 5 ochotników i zapytaj, ile trzyosobowych komisji mogą utworzyć. Potem zapytaj, na ile sposobów mogą podzielić funkcje przewodniczącego, sekretarza i skarbnika. Odpowiedzi, 10 i 60, pokazują, że każdą komisję da się ustawić na 6 sposobów. W planie dla szkół, rozliczanym za ucznia, panel pokazuje nauczycielowi, kto robi postępy.

Więcej matematyki do opanowania

Gotowy do starcia?

Zagraj za darmo ▸