ベクトルゲーム

ベクトルとは？

ベクトルとは、大きさと向きをもつ量で、矢印で表します。時速20 kmの風は、北へ向かって吹くと言うまでは、ただの速さです。向きを言ったとたん、ベクトルになります。2本の矢印は、長さが同じで同じ向きなら、どこから始まっていても同じベクトルです。

例：⟨24, 7⟩の大きさ

1. ⟨24, 7⟩を囲む縦線は、その大きさ、つまり長さをきいています。矢印は横に24、上に7進みます。
2. それぞれの成分を2乗します。24 × 24 = 576、7 × 7 = 49です。
3. 2つの2乗をたすと625です。2乗して625になる数をさがすと、25です。
4. 矢印の長さは25で、横の24より少しだけ長いので、25と入力します。

コツとよくあるまちがい

• θ = 0°を思いうかべましょう。矢印はx軸の上にねているので、xは長さrそのものです。cos 0° = 1なので、xはcos、yはsinと組になります。
• よくあるまちがいは、2つの成分をたすことです。⟨12, 9⟩の長さは21ではありません。まっすぐな矢印は角を近道するからです。正しくは144 + 81 = 225で、√225 = 15です。
• 床でベクトルの足し算を練習しましょう。タイル6枚分歩き、直角に曲がって8枚分歩くと、⟨6, 0⟩ + ⟨0, 8⟩ = ⟨6, 8⟩です。出発点までひもを張ると、タイル10枚分になります。

— サクッと回答 —

ベクトル:かんたんFAQ

2つのベクトルの内積で何がわかる？

内積を見ると、2つのベクトルがどれだけ同じ向きを向いているかが、1つの数でわかります。内積は、2つの大きさと、そのあいだの角のコサインをかけた値です。角が90°より小さければ正、直角なら0、それより大きければ負になります。⟨2, 6⟩と⟨3, −1⟩なら2 × 3 + 6 × (−1) = 0なので、この2つは垂直です。ゲームでは成分がすべて1から9なので、内積はいつも正です。

極座標を直交座標に変換するには？

直交座標を求めるには、長さrにcos θをかけてx、sin θをかけてyを出します。極座標は点の位置を距離と角度で表し、直交座標は横と縦の移動で表します。r = 12、θ = 30°なら、y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6です。ゲームではrが偶数で、サインかコサインが0、½、1になる角度だけが出ます。負になることもありますが、答えは必ず整数です。

ベクトルの大きさを速く求めるコツは？

いちばん速いのは、ベクトルの裏にあるピタゴラス数を見ぬくことです。ピタゴラス数とは、はじめの2つの2乗の和が3つめの2乗になる、3つの整数の組です。このゲームのベクトルは、5、12、13や8、15、17など、たった5組のピタゴラス数か、その倍からできています。たとえば⟨16, 12⟩は⟨4, 3⟩の4倍なので、大きさは4 × 5 = 20です。

x成分がマイナスになるのはなぜ？

角度が90°をこえると、矢印は出発点より左を向くので、xがマイナスになるのが正しい答えです。cos 120° = −½なので、r = 8、θ = 120°ならx = 8 × (−½) = −4です。180°では、xは長さ全体にマイナスをつけた値になります。マイナスキーを使って入力しましょう。ここでは180°をこえる角度がないので、yがマイナスになることはありません。

このベクトルの数学ゲームは無料？授業でどう生かせる？

はい、ベクトルの3つのレベルはどのブラウザでも無料で、登録もインストールもいりません。授業のウォームアップとして、成分が整数で長さがちょうど13になる矢印はいくつあるか、問いかけてみましょう。生徒はペアで⟨5, 12⟩や⟨−13, 0⟩などをさがし、12本すべて見つけます。同じ点からかくと、先端が円の上にならびます。学校向けプランなら、生徒ごとの料金で、だれが伸びているかを先生用ダッシュボードで確認できます。