等比級数とは何ですか？

等比級数とは、前の項に同じ数をかけてできる項を足し合わせたもので、その同じ数を公比といいます。3 + 6 + 12 + 24 では公比が2で、和は45です。初項 a、公比 r、項数 n なら和は a(rⁿ − 1)/(r − 1) なので、ここでは 3 × 15/1 = 45 です。このゲームの等比級数のレベルでは、公比2のいちばん簡単な 1 + 2 + 4 + ⋯ を使います。

等差数列の和はどうやって求めるの？

等差数列の和は、初項、末項、項数の3つがわかれば求められます。末項がわからないときは、となり合う項の一定の差である公差 d を使い、aₙ = a₁ + (n − 1)d で作ります。10項の 4 + 7 + 10 + ⋯ なら末項は 4 + 9 × 3 = 31 なので、和は 10 × 35 の半分の175です。

eˣ の級数はどう覚えればいい？

x の累乗と、同じ数の階乗がペアになると覚えましょう。つまり eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ で、n!（n の階乗）は 1 × 2 × ⋯ × n のことです。だから x⁵ の項の分母は 5! = 120 です。x = 1 を入れると、項の和は e そのもの、約2.72になります。

項数を数えまちがえるのはなぜ？

多くの生徒は、端から端までの差を公差で割り、最初の項を数え忘れてしまいます。5から50まで3ずつ進むと、50 − 5 = 45 の中に3が15回入るので跳びは15回ですが、項は16個あります。柵の柱を思いうかべてください。15のすき間には16本の柱が必要です。だから 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 は16項で、和は412.5ではなく440です。

このゲームで級数の授業を始められる？無料？

黒板での競争から授業を始められ、ゲームは無料です。どのレベルもブラウザで開け、登録もダウンロードもいりません。等差数列の和の練習として 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ と書き、途中までの和を順に声に出してもらいます。1, 4, 9, 16, 25 です。平方数だと気づいたら、最初の30個の奇数の和をたずねましょう。答えは900です。学校向けプランは生徒1人ごとの料金で、和の計算でだれが上達しているかをダッシュボードで確認できます。

算数の練習 · 新発想

数列の和ゲーム

この数列の和チャレンジでは、等差数列の最大40項をいっぺんに足し、最上位ではx⁷が5040で割られるe^xの級数に挑みます。1項ずつ足すのでは遅すぎるので、だれよりも先に正しい合計を出してファイターを攻撃させましょう。

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数学でいう級数とは？

級数とは、数列の和のことです。順番に並んだ数（その一つひとつを項といいます）を、すべて足して一つの合計にします。数列 3, 5, 7, 9 は4つの項からできていますが、級数 3 + 5 + 7 + 9 は24という一つの数です。級数には短いもの、長いもの、終わりのないものもあり、多くの場合、公式を使えば項を一つずつ足さなくても合計がわかります。

Seriesのすべてのレベル

例：1 + 2 + 4 + ⋯ を5項まで

各項は前の項の2倍なので、5つの項は 1, 2, 4, 8, 16 です。
1つずつ足していきます。1 + 2 = 3、次に 3 + 4 = 7、7 + 8 = 15、15 + 16 = 31 です。
このパターンの近道で確かめます。2⁵ = 32 で、和はそれより1小さい31です。
和は31なので、キーパッドで31と入力します。

ステップごとに学ぼう

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

コツとよくあるまちがい

1 + 2 + ⋯ + n を求めるには、n にその次の数をかけて半分にします。1 + 2 + ⋯ + 12 なら 12 × 13 = 156 で、その半分の78です。
よくあるまちがいは、まず公差を求めようとすることです。a₁ = 15、aₙ = 44、n = 6 なら公差は5.8ですが、和は 6 × 59 の半分の177ですぐ求まります。
画面から離れて、だれかと競争しましょう。一人は 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 を1項ずつ足し、もう一人は 10 × 22 を半分にします。どちらも110になるはずです。

バトルでの遊び方

最初のレベルでは、どのラウンドも「和: a₁=13, aₙ=37, n=12」のように初項、末項、項数が示され、和の300を入力します。別のレベルは小さな等比級数ゲームのようなもので、「1+2+4+⋯, 7 項, 和=?」には127と答えます。相手より先に正しい和を入力すればトマトが攻撃し、速い答えほど重い一撃になります。

— サクッと回答 —

Series:かんたんFAQ

等比級数とは何ですか？: 等比級数とは、前の項に同じ数をかけてできる項を足し合わせたもので、その同じ数を公比といいます。3 + 6 + 12 + 24 では公比が2で、和は45です。初項 a、公比 r、項数 n なら和は a(rⁿ − 1)/(r − 1) なので、ここでは 3 × 15/1 = 45 です。このゲームの等比級数のレベルでは、公比2のいちばん簡単な 1 + 2 + 4 + ⋯ を使います。
等差数列の和はどうやって求めるの？: 等差数列の和は、初項、末項、項数の3つがわかれば求められます。末項がわからないときは、となり合う項の一定の差である公差 d を使い、aₙ = a₁ + (n − 1)d で作ります。10項の 4 + 7 + 10 + ⋯ なら末項は 4 + 9 × 3 = 31 なので、和は 10 × 35 の半分の175です。
eˣ の級数はどう覚えればいい？: x の累乗と、同じ数の階乗がペアになると覚えましょう。つまり e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯ で、n!（n の階乗）は 1 × 2 × ⋯ × n のことです。だから x⁵ の項の分母は 5! = 120 です。x = 1 を入れると、項の和は e そのもの、約2.72になります。
項数を数えまちがえるのはなぜ？: 多くの生徒は、端から端までの差を公差で割り、最初の項を数え忘れてしまいます。5から50まで3ずつ進むと、50 − 5 = 45 の中に3が15回入るので跳びは15回ですが、項は16個あります。柵の柱を思いうかべてください。15のすき間には16本の柱が必要です。だから 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 は16項で、和は412.5ではなく440です。
このゲームで級数の授業を始められる？無料？: 黒板での競争から授業を始められ、ゲームは無料です。どのレベルもブラウザで開け、登録もダウンロードもいりません。等差数列の和の練習として 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ と書き、途中までの和を順に声に出してもらいます。1, 4, 9, 16, 25 です。平方数だと気づいたら、最初の30個の奇数の和をたずねましょう。答えは900です。学校向けプランは生徒1人ごとの料金で、和の計算でだれが上達しているかをダッシュボードで確認できます。

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