極限でx → ∞とはどういう意味？

xが限りなく大きくなり、思いつくどんな数も追い越していくという意味です。つまり∞は代入する値ではなく、進んでいく方向です。極限は、その途中で関数がどの値に近づくかを問います。xが大きくなると、1/xは0に近づきます。一方、12xを4xで割った値は0以外のどのxでも3なので、無限大での極限も3です。

3乗の差を含む極限はどう求める？

分子を公式a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)で因数分解します。x → 4のときの(x³ − 64) / (x − 4)なら、分子は(x − 4)(x² + 4x + 16)です。(x − 4)を約分してから代入すると、16 + 16 + 16 = 48。この形には手早い検算もあり、xが近づく数の2乗の3倍、つまり3 × 4² = 48になります。

極限は何歳ごろに習う？

多くの学校制度では、極限は16〜18歳ごろ、中等教育の終わりに学び、大学で最初に受ける微積分の授業で再び出会います。授業はここのレベルと同じ順に進むことが多く、まず代入、次に0/0の形、最後に無限大での極限です。ここの3つのレベルは16〜18歳向けです。

約分したのに極限が合わないのはなぜ？

たいてい約分は正しく、最後の一歩が抜けています。残った式は、その点でもう一度計算しなければなりません。x → 9のときの(x² − 13x + 36) / (x − 9)では、分子は(x − 9)(x − 4)です。約分するとx − 4が残るので、極限は9 − 4 = 5。かっこの中に残った4を入力してしまうのが、典型的な間違いです。

この極限の対戦ゲームは無料で、授業でも使える？

はい、3つのレベルはクラス全員が無料で使え、アカウントもインストールも不要で、どのブラウザのタブでも開けます。極限の練習には、黒板に(x² − 9) / (x − 3)、(x³ − 27) / (x − 3)、(x² − 5x + 6) / (x − 3)を書きましょう。どれもx = 3で0/0になりますが、因数分解したグループは極限6、27、1を見つけます。生徒ごとの料金の学校向けプランなら、極限を解くのが速くなってきた生徒を教師用ダッシュボードで確認できます。

算数の練習 · 新発想

極限ゲーム

この極限の対戦では、xは1〜9のどれかの数か∞に近づき、0/0のわなも含めて答えはすべて1〜55の整数です。関数の行き先を相手より先に見抜けば、あなたのファイターが先に一撃を入れます。

4〜99+歳 · ダウンロード不要 · ブラウザで遊べる · 23言語対応

レベルを選ぶ ▸

関数の極限とは？

極限とは、xがある数にどんどん近づくとき、関数の値が近づいていく先の値のことです。lim x→3は「xを3に近づけたとき」と読み、関数がx = 3で値をもたなくてもかまいません。ドアに向かって、毎回残りの距離の半分だけ進んでみましょう。いくらでも近づけますが、そのドアこそが極限です。

極限のすべてのレベル

例：x → 7のときの(x² − 11x + 28) / (x − 7)の極限

まず7を代入します。分子は49 − 77 + 28 = 0、分母は7 − 7 = 0で0/0の不定形になり、これでは極限はまだわかりません。
かけて28、たして11になる2つの数を探すと7と4なので、分子は積の形(x − 7)(x − 4)に因数分解できます。
分子と分母の両方にある(x − 7)を約分すると、x − 4だけが残ります。
x − 4に7を代入すると3になるので、極限は3で、入力する答えも3です。

ステップごとに学ぼう

極限は、xがある値へ近づくとき関数がどこへ向かっているか——目指している高さ——を聞きます。

関数がおとなしいときは、ただ値を代入すればいい。lim(x→2) の (x² + 1) = 2² + 1 = 5。代入して計算しよう。

それが近づく値を入力しよう。

コツとよくあるまちがい

毎回同じ順番で考えましょう。まず代入して、数が出ればそれで終わり。0/0なら因数分解して約分し、x → ∞なら最高次の項どうしだけを比べます。
よくある間違いは、(x² − 25) / (x − 5)のxを1つずつ消してしまうことです。約分できるのは因数まるごとだけなので、先に分子を(x − 5)(x + 5)と書き直しましょう。
家では電卓で極限が目に見えます。(x² − 16) / (x − 4)にx = 3.9、3.99、3.999を入れると、結果は7.9、7.99、7.999と8に近づいていきます。

バトルでの遊び方

各ラウンドにlim x→4 (x² + 3x + 4)のような極限が1つ出て、近づいていく値の32をキーパッドで入力します。先のレベルではx → 9のときの(x² − 81) / (x − 9)のような0/0のわなや、x → ∞の極限も出ますが、答えはいつも正の整数です。相手より先に正解すれば玉ねぎが攻撃し、速く答えるほど一撃が重くなります。

— サクッと回答 —

極限:かんたんFAQ

極限でx → ∞とはどういう意味？: xが限りなく大きくなり、思いつくどんな数も追い越していくという意味です。つまり∞は代入する値ではなく、進んでいく方向です。極限は、その途中で関数がどの値に近づくかを問います。xが大きくなると、1/xは0に近づきます。一方、12xを4xで割った値は0以外のどのxでも3なので、無限大での極限も3です。
3乗の差を含む極限はどう求める？: 分子を公式a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)で因数分解します。x → 4のときの(x³ − 64) / (x − 4)なら、分子は(x − 4)(x² + 4x + 16)です。(x − 4)を約分してから代入すると、16 + 16 + 16 = 48。この形には手早い検算もあり、xが近づく数の2乗の3倍、つまり3 × 4² = 48になります。
極限は何歳ごろに習う？: 多くの学校制度では、極限は16〜18歳ごろ、中等教育の終わりに学び、大学で最初に受ける微積分の授業で再び出会います。授業はここのレベルと同じ順に進むことが多く、まず代入、次に0/0の形、最後に無限大での極限です。ここの3つのレベルは16〜18歳向けです。
約分したのに極限が合わないのはなぜ？: たいてい約分は正しく、最後の一歩が抜けています。残った式は、その点でもう一度計算しなければなりません。x → 9のときの(x² − 13x + 36) / (x − 9)では、分子は(x − 9)(x − 4)です。約分するとx − 4が残るので、極限は9 − 4 = 5。かっこの中に残った4を入力してしまうのが、典型的な間違いです。
この極限の対戦ゲームは無料で、授業でも使える？: はい、3つのレベルはクラス全員が無料で使え、アカウントもインストールも不要で、どのブラウザのタブでも開けます。極限の練習には、黒板に(x² − 9) / (x − 3)、(x³ − 27) / (x − 3)、(x² − 5x + 6) / (x − 3)を書きましょう。どれもx = 3で0/0になりますが、因数分解したグループは極限6、27、1を見つけます。生徒ごとの料金の学校向けプランなら、極限を解くのが速くなってきた生徒を教師用ダッシュボードで確認できます。

もっと数学をマスター

勝負する準備はいい?

無料でプレイ ▸