算数の練習 · 新発想
積分ゲーム
この積分の対戦では、面積はいつもx = 0から始まって2か3で終わり、置換積分のレベルでは分母だけを答えます。相手も同じ曲線を積分するので、手順を一つ省くたびにあなたのファイターが先に一撃を入れます。
4〜99+歳 · ダウンロード不要 · ブラウザで遊べる · 23言語対応
積分とは？
積分とは、変わり続ける量を足し合わせる計算です。曲線がx軸より上にあるとき、定積分は2つのxの値の間で曲線の下にある面積を表し、その2つの値を下端・上端といいます。旅行中の車の速さのグラフを思い浮かべてください。グラフの下の面積が、車の進んだ距離です。
例：∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx
- 項ごとに積分します。3x2はx3に、8xは4x2に、定数の5は5xになります。
- 上端のx = 2をx3 + 4x2 + 5xに代入すると、8 + 16 + 10 = 34です。
- 下端のx = 0では各項が0なので何も引かず、34と入力します。
ステップごとに学ぼう
積分は微分の逆——小さなスライスを足し合わせて曲線の下の面積を求めます。
べき乗則が反転する：∫axn dx = a·xn+1/(n+1)——指数を1上げて、新しい指数で割る。∫2x dx を0から3まで なら：それは x2 に3を代入して → 9。
積分して、上端の値を代入し（ここでは下端は0）、面積を入力しよう。
コツとよくあるまちがい
- 記号を文として読みましょう。∫はラテン語summa（和）の頭文字Sを縦に伸ばした形で、dxはごく細い幅です。∫ 6x2 dxは、高さ6x2の細い帯を足し合わせるという意味です。
- よくある間違いは、新しい指数で割らずに掛けてしまうことです。6x2の積分は2x3で、18x3ではありません。答えを微分して6x2に戻るか確かめましょう。
- 方眼紙に直線y = xを0から6まで描き、その下のマスを数えてみましょう。三角形は18マス分で、x2/2に6を入れた値とぴったり同じです。
バトルでの遊び方
最初の2レベルでは、毎ラウンド∫(0→3) 8x3 dxのような面積の問題が出て、その値の整数162をキーパッドで入力します。置換積分のレベルでは∫(2x+5)3 dxが出て、答えの分母8だけを求められます。相手より先に正解すればにんじんが攻撃し、早く当てるほど一撃が重くなります。
— サクッと回答 —
積分:かんたんFAQ
- 積分のdxはどういう意味？
- 積分のdxは、どの変数に沿って足し合わせるかを示し、xのごく小さな幅を表します。つまり∫ 6x2 dxは、高さ6x2、幅dxの帯をすべて足した和と読めます。帯をどんどん細くすると、その合計が正確な面積になります。dxがなければ、どの向きに切り分けるのかが分かりません。
- 定積分はどうやって計算する？
- 定積分は3つの手順で計算します。まず原始関数、つまり微分すると積分の中の関数になる関数を見つけます。次に上端の値を代入し、下端での値を引きます。2xを1から3まで積分するなら、原始関数はx2なので9 − 1 = 8です。このゲームでは下端がいつも0で、そこではこれらの原始関数が0になります。
- 積分のべき乗の公式はどう覚える？
- 靴下と靴を思い出しましょう。履くときは靴下が先ですが、脱ぐときは靴が先です。微分は指数を掛けてから指数を1減らすので、積分はその手順を逆の順で元に戻します。まず指数が1つ増え、そのあとで増えた指数で割ります。こうして12x3は3x4になり、3x4を微分すると12x3に戻ります。
- 置換積分でいちばん多いミスは？
- いちばん多いミスは、かっこの中でxに掛かっている数を忘れることです。∫(3x + 2)4 dxでは、指数を上げると(3x + 2)5を5で割った形になりますが、かっこの中はxの3倍の速さで増えるので、さらに3でも割ります。分母は3 × 5 = 15で、5ではありません。(3x + 2)5 / 15を微分すると、ちょうど(3x + 2)4に戻ります。
- この積分計算の対戦ゲームを授業で使うと費用はかかる？
- 授業で使っても費用は一切かかりません。単項式から置換積分までの3レベルすべてが、学校のノートパソコンやタブレットのブラウザのタブで開け、生徒のアカウントも不要です。黒板で積分の練習をするなら、0から2までの面積がちょうど8になる関数をグループで探させましょう。定数の4、直線4x、曲線3x2はどれも当てはまり、形はまったく違います。生徒ごとの料金の学校向けプランなら、積分が得意になってきた生徒を教師用ダッシュボードで確認できます。