Was sagt das Skalarprodukt zweier Vektoren aus?

Das Skalarprodukt sagt in einer einzigen Zahl, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen: Es ist das Produkt ihrer Beträge mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Unter 90° ist es positiv, bei einem rechten Winkel 0 und darüber negativ. Für ⟨2; 6⟩ und ⟨3; −1⟩ ergibt es 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, also stehen sie senkrecht aufeinander. Im Spiel liegt jede Komponente zwischen 1 und 9, daher ist das Ergebnis immer positiv.

Wie rechnet man Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um?

Für kartesische Koordinaten multiplizierst du die Länge r mit cos θ für x und mit sin θ für y. Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand und Winkel, kartesische durch einen Schritt nach rechts und einen nach oben. Mit r = 12 und θ = 30° ist y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Das Spiel nimmt nur gerade r und Winkel, deren Sinus oder Kosinus 0, ½ oder 1 ist, manchmal negativ, damit das Ergebnis ganzzahlig bleibt.

Gibt es einen Trick, um den Betrag eines Vektors schnell zu finden?

Der schnellste Trick: Erkenne das pythagoreische Tripel hinter dem Vektor, also drei ganze Zahlen, bei denen die Quadrate der ersten beiden zusammen das Quadrat der dritten ergeben. Das Spiel baut alle Vektoren aus nur fünf Tripeln, etwa 5, 12 und 13 oder 8, 15 und 17, oder aus einem Vielfachen davon. So ist ⟨16; 12⟩ viermal ⟨4; 3⟩, und sein Betrag ist 4 × 5 = 20.

Warum ist meine x-Komponente negativ?

Ein negatives x ist richtig, sobald der Winkel über 90° liegt, denn dann zeigt der Pfeil nach links vom Startpunkt. Da cos 120° = −½ ist, ergeben r = 8 und θ = 120° den Wert x = 8 × (−½) = −4, und bei 180° ist x die ganze Länge mit Minus davor. Tippe es mit der Minustaste ein. Die y-Werte werden hier nie negativ, weil kein Winkel über 180° geht.

Ist dieses Mathespiel mit Vektoren kostenlos, und wie nutze ich es im Unterricht?

Ja, alle drei Vektor-Level sind in jedem Browser kostenlos, und niemand muss sich registrieren oder etwas installieren. Zum Einstieg fragst du die Klasse, wie viele Pfeile mit ganzzahligen Komponenten genau 13 lang sind. Zu zweit suchen alle danach, etwa ⟨5; 12⟩ oder ⟨−13; 0⟩, bis alle 12 gefunden sind; vom selben Punkt aus gezeichnet, liegen ihre Spitzen auf einem Kreis. Mit dem Schulplan zahlt die Lehrkraft pro Schüler und sieht auf einem Dashboard, wer sich verbessert.

Matheübung · neu gedacht

Vektoren Spiel

Dieses Mathespiel mit Vektoren zeigt dir Pfeile als Paare wie ⟨24; 7⟩ oder als Länge mit Winkel, und jede Antwort ist ganzzahlig, von −24 bis 162. Sei zuerst fertig, dann schlägt dein Kämpfer zu, während dein Gegner noch quadriert und addiert.

Für 4–99+ Jahre · kein Download · läuft im Browser · 23 Sprachen

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Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist eine Größe mit Länge und Richtung, gezeichnet als Pfeil. Wind mit 20 km/h ist nur eine Geschwindigkeitsangabe, bis du sagst, dass er nach Norden weht; dann ist er ein Vektor. Zwei Pfeile stellen denselben Vektor dar, wenn sie gleich lang sind und in dieselbe Richtung zeigen, egal wo sie beginnen.

Alle Stufen von Vektoren

Beispiel: der Betrag von ⟨24; 7⟩

Die Striche um ⟨24; 7⟩ fragen nach seinem Betrag, also seiner Länge: Der Pfeil geht 24 nach rechts und 7 nach oben.
Multipliziere jede Komponente mit sich selbst: 24 × 24 = 576 und 7 × 7 = 49.
Addiere die beiden Quadrate zu 625 und suche die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 625 ergibt: Das ist 25.
Der Pfeil ist 25 lang, nur etwas mehr als seine 24 nach rechts, also tippst du 25.

Schritt für Schritt lernen

Ein Vektor ⟨x, y⟩ ist ein Pfeil: geh x Schritte quer und y Schritte hoch. Sein Betrag ist einfach, wie LANG dieser Pfeil ist, geradlinig von Anfang bis Spitze gemessen.

Da der Quer-Schritt und der Hoch-Schritt einen rechten Winkel bilden, ist der Pfeil die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks — also ist seine Länge √(x² + y²), der Satz des Pythagoras. Für ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Diese sind so gewählt, dass die Länge immer eine ganze Zahl ergibt.)

Quadriere jeden Teil, addiere, zieh die Quadratwurzel und tipp die Länge ein.

Tipps und häufige Fehler

Stell dir θ = 0° vor: Der Pfeil liegt flach auf der x-Achse, also ist x die ganze Länge r. Weil cos 0° = 1 ist, gehört x zum Kosinus und y zum Sinus.
Ein häufiger Fehler ist, die beiden Komponenten zu addieren: ⟨12; 9⟩ ist nicht 21 lang, denn der gerade Pfeil schneidet die Ecke ab. Richtig ist 144 + 81 = 225 und √225 = 15.
Zum Üben der Vektoraddition: Geh 6 Fliesen weit, dreh dich im rechten Winkel, geh 8 weiter, also ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Eine Schnur zurück zum Start misst 10 Fliesen.

So wird gespielt

Vektoren erscheinen in drei Formen: |⟨21; 20⟩| fragt nach einer Länge, 29; r=10, θ=120°, x=? will −5, mit der Minustaste; ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ will ein Skalarprodukt, 39. Tippe jede ganze Zahl vor deinem Gegner ins Tastenfeld, und Chili schlägt umso härter zu, je früher deine ankommt.

— Kurze Antworten —

Vektoren: das kurze FAQ

Was sagt das Skalarprodukt zweier Vektoren aus?: Das Skalarprodukt sagt in einer einzigen Zahl, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen: Es ist das Produkt ihrer Beträge mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Unter 90° ist es positiv, bei einem rechten Winkel 0 und darüber negativ. Für ⟨2; 6⟩ und ⟨3; −1⟩ ergibt es 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, also stehen sie senkrecht aufeinander. Im Spiel liegt jede Komponente zwischen 1 und 9, daher ist das Ergebnis immer positiv.
Wie rechnet man Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um?: Für kartesische Koordinaten multiplizierst du die Länge r mit cos θ für x und mit sin θ für y. Polarkoordinaten beschreiben einen Punkt durch Abstand und Winkel, kartesische durch einen Schritt nach rechts und einen nach oben. Mit r = 12 und θ = 30° ist y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Das Spiel nimmt nur gerade r und Winkel, deren Sinus oder Kosinus 0, ½ oder 1 ist, manchmal negativ, damit das Ergebnis ganzzahlig bleibt.
Gibt es einen Trick, um den Betrag eines Vektors schnell zu finden?: Der schnellste Trick: Erkenne das pythagoreische Tripel hinter dem Vektor, also drei ganze Zahlen, bei denen die Quadrate der ersten beiden zusammen das Quadrat der dritten ergeben. Das Spiel baut alle Vektoren aus nur fünf Tripeln, etwa 5, 12 und 13 oder 8, 15 und 17, oder aus einem Vielfachen davon. So ist ⟨16; 12⟩ viermal ⟨4; 3⟩, und sein Betrag ist 4 × 5 = 20.
Warum ist meine x-Komponente negativ?: Ein negatives x ist richtig, sobald der Winkel über 90° liegt, denn dann zeigt der Pfeil nach links vom Startpunkt. Da cos 120° = −½ ist, ergeben r = 8 und θ = 120° den Wert x = 8 × (−½) = −4, und bei 180° ist x die ganze Länge mit Minus davor. Tippe es mit der Minustaste ein. Die y-Werte werden hier nie negativ, weil kein Winkel über 180° geht.
Ist dieses Mathespiel mit Vektoren kostenlos, und wie nutze ich es im Unterricht?: Ja, alle drei Vektor-Level sind in jedem Browser kostenlos, und niemand muss sich registrieren oder etwas installieren. Zum Einstieg fragst du die Klasse, wie viele Pfeile mit ganzzahligen Komponenten genau 13 lang sind. Zu zweit suchen alle danach, etwa ⟨5; 12⟩ oder ⟨−13; 0⟩, bis alle 12 gefunden sind; vom selben Punkt aus gezeichnet, liegen ihre Spitzen auf einem Kreis. Mit dem Schulplan zahlt die Lehrkraft pro Schüler und sieht auf einem Dashboard, wer sich verbessert.

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