Was ist eine geometrische Reihe?

Eine geometrische Reihe addiert Glieder, die jeweils durch Multiplizieren des vorigen mit derselben Zahl entstehen, dem Quotienten q. In 3 + 6 + 12 + 24 ist q = 2 und die Summe 45. Mit erstem Glied a, Quotient q und n Gliedern gilt für die Summe a(qⁿ − 1)/(q − 1), hier also 3 × 15/1 = 45. Die geometrische Stufe dieses Spiels nutzt den einfachsten Fall: 1 + 2 + 4 + ⋯, mit q = 2.

Wie berechnet man die Summe einer arithmetischen Reihe?

Die Summe einer arithmetischen Reihe ergibt sich aus drei Angaben: dem ersten Glied, dem letzten und der Anzahl der Glieder. Fehlt das letzte, baust du es aus der Differenz d, dem festen Abstand zwischen den Gliedern: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Bei 4 + 7 + 10 + ⋯ mit 10 Gliedern ist das letzte 4 + 9 × 3 = 31, die Summe also die Hälfte von 10 × 35: 175.

Wie merkt man sich die Reihe von eˣ?

Merk sie dir als passende Paare: Jede Potenz von x steht über der Fakultät derselben Zahl. Also gilt eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, wobei n!, gesprochen „n Fakultät“, für 1 × 2 × ⋯ × n steht. Das Glied mit x⁵ steht deshalb über 5! = 120. Setzt du x = 1 ein, ergeben die Glieder die Zahl e selbst, etwa 2,72.

Warum verzählt man sich bei der Anzahl der Glieder?

Viele teilen den Abstand durch die Schrittweite und vergessen, das erste Glied mitzuzählen. Von 5 bis 50 in Dreierschritten gibt es 15 Sprünge, denn 50 − 5 = 45 enthält 15-mal die 3, aber es sind 16 Glieder. Denk an einen Zaun: 15 Lücken brauchen 16 Pfosten. So hat 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 genau 16 Glieder und die Summe 440, nicht 412,5.

Wie startet man mit diesem Spiel eine Stunde zu Reihen, und ist es kostenlos?

Du kannst mit einem Wettlauf an der Tafel beginnen, und das Spiel kostet nichts: Jede Stufe läuft im Browser, ohne Anmeldung oder Download. Zum Üben arithmetischer Reihen schreibst du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ an und lässt die Klasse jede Teilsumme ausrufen: 1; 4; 9; 16; 25. Sobald alle die Quadratzahlen sehen, fragst du nach der Summe der ersten 30 ungeraden Zahlen: 900. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Dashboard, wer bei Summen besser wird.

Matheübung · neu gedacht

Spiel zu Reihen und Summen

In dieser Herausforderung mit Reihen und Summen addierst du bis zu 40 Glieder einer arithmetischen Folge auf einmal, und ganz oben wartet die Reihe von e^x, in der x⁷ durch 5040 geteilt wird. Glied für Glied zu addieren ist hier zu langsam: Die erste richtige Summe schickt deinen Kämpfer los.

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Was ist eine Reihe in der Mathematik?

Eine Reihe ist die Summe einer Folge: Die Zahlen einer geordneten Liste, die Glieder heißen, werden zu einer einzigen Summe addiert. Die Folge 3; 5; 7; 9 hat vier Glieder, die Reihe 3 + 5 + 7 + 9 ist dagegen eine einzige Zahl, 24. Reihen können kurz, lang oder sogar unendlich sein, und oft liefert eine Formel die Summe, ohne jedes Glied zu addieren.

Alle Stufen von Series

Beispiel: 1 + 2 + 4 + ⋯ mit 5 Gliedern

Jedes Glied verdoppelt das vorige, also lauten die fünf Glieder 1, 2, 4, 8 und 16.
Addiere sie nacheinander: 1 + 2 = 3, dann 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 und 15 + 16 = 31.
Prüfe mit der Abkürzung für dieses Muster: 2⁵ = 32, und die Summe ist um eins kleiner, also 31.
Die Summe ist 31, also tippst du 31 ein.

Schritt für Schritt lernen

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Tipps und häufige Fehler

Für 1 + 2 + ⋯ + n multiplizierst du n mit der nächsten Zahl und halbierst: Bei 1 + 2 + ⋯ + 12 ist 12 × 13 = 156, die Hälfte davon 78.
Ein häufiger Fehler ist die Suche nach der Differenz der Glieder. Bei a₁ = 15, aₙ = 44 und n = 6 ist sie 5,8, doch die Summe ist einfach die Hälfte von 6 × 59: 177.
Abseits des Bildschirms geht ein Wettrennen: Einer addiert 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 Glied für Glied, der andere halbiert 10 × 22. Beide sollten 110 erhalten.

So wird gespielt

Auf der ersten Stufe zeigt jede Runde eine Summe zum Vervollständigen, etwa „Summe: a₁=13, aₙ=37, n=12“ mit erstem Glied, letztem Glied und Anzahl, also tippst du 300. Eine andere Stufe ist ein Spiel mit geometrischen Reihen im Kleinen: „1+2+4+⋯, 7 Glieder, Summe=?“ verlangt 127. Hast du die Summe vor deinem Rivalen, schlägt Tomate zu, und eine schnelle Summe wird zum harten Treffer.

— Kurze Antworten —

Series: das kurze FAQ

Was ist eine geometrische Reihe?: Eine geometrische Reihe addiert Glieder, die jeweils durch Multiplizieren des vorigen mit derselben Zahl entstehen, dem Quotienten q. In 3 + 6 + 12 + 24 ist q = 2 und die Summe 45. Mit erstem Glied a, Quotient q und n Gliedern gilt für die Summe a(qⁿ − 1)/(q − 1), hier also 3 × 15/1 = 45. Die geometrische Stufe dieses Spiels nutzt den einfachsten Fall: 1 + 2 + 4 + ⋯, mit q = 2.
Wie berechnet man die Summe einer arithmetischen Reihe?: Die Summe einer arithmetischen Reihe ergibt sich aus drei Angaben: dem ersten Glied, dem letzten und der Anzahl der Glieder. Fehlt das letzte, baust du es aus der Differenz d, dem festen Abstand zwischen den Gliedern: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Bei 4 + 7 + 10 + ⋯ mit 10 Gliedern ist das letzte 4 + 9 × 3 = 31, die Summe also die Hälfte von 10 × 35: 175.
Wie merkt man sich die Reihe von eˣ?: Merk sie dir als passende Paare: Jede Potenz von x steht über der Fakultät derselben Zahl. Also gilt e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, wobei n!, gesprochen „n Fakultät“, für 1 × 2 × ⋯ × n steht. Das Glied mit x⁵ steht deshalb über 5! = 120. Setzt du x = 1 ein, ergeben die Glieder die Zahl e selbst, etwa 2,72.
Warum verzählt man sich bei der Anzahl der Glieder?: Viele teilen den Abstand durch die Schrittweite und vergessen, das erste Glied mitzuzählen. Von 5 bis 50 in Dreierschritten gibt es 15 Sprünge, denn 50 − 5 = 45 enthält 15-mal die 3, aber es sind 16 Glieder. Denk an einen Zaun: 15 Lücken brauchen 16 Pfosten. So hat 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 genau 16 Glieder und die Summe 440, nicht 412,5.
Wie startet man mit diesem Spiel eine Stunde zu Reihen, und ist es kostenlos?: Du kannst mit einem Wettlauf an der Tafel beginnen, und das Spiel kostet nichts: Jede Stufe läuft im Browser, ohne Anmeldung oder Download. Zum Üben arithmetischer Reihen schreibst du 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ an und lässt die Klasse jede Teilsumme ausrufen: 1; 4; 9; 16; 25. Sobald alle die Quadratzahlen sehen, fragst du nach der Summe der ersten 30 ungeraden Zahlen: 900. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Dashboard, wer bei Summen besser wird.

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