Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus Gleichungen mit denselben Unbekannten, die alle gleichzeitig stimmen müssen. Für sich allein hat x + y = 12 unendlich viele Lösungen: 5 und 7, 9 und 3 und viele mehr. Kommt x − y = 2 dazu, passt nur noch x = 7, y = 5 zu beiden. Im Koordinatensystem ist dieses Paar der Schnittpunkt der zwei Geraden.

Wie löst man ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren?

Beim Additionsverfahren bringst du eine Unbekannte zum Verschwinden und löst dann nach der anderen auf. In 3x + 2y = 16 und x − y = 2 heben sich die y noch nicht auf. Multipliziere die zweite Gleichung mit 2 zu 2x − 2y = 4 und addiere beide: 5x = 20, also x = 4. Setzt du 4 in x − y = 2 ein, ergibt sich y = 2.

Wie merkt man sich, welche Differenz bei der Steigung oben steht?

Teste die Formel an einer Geraden, die du schon kennst. Die Gerade y = 2x geht durch (0; 0) und (1; 2), steigt also um 2 pro Schritt nach rechts, und ihre Steigung muss 2 sein. Das klappt nur mit 2 durch 1, nie mit 1 durch 2: Die Differenz der y-Werte steht immer oben, die der x-Werte unten.

Warum hält mein Kind eine negative Steigung für weniger steil?

Viele Lernende halten −4 für eine flachere Steigung als 2, weil −4 die kleinere Zahl ist. Wie steil eine Gerade ist, hängt aber vom Betrag der Steigung ab, also ohne Vorzeichen: Bei −4 fällt sie um 4 pro Schritt nach rechts, bei 2 steigt sie nur um 2. Vergleiche die Beträge, um die Steilheit zu beurteilen, und nutze das Vorzeichen nur, um zu sehen, ob die Gerade steigt oder fällt.

Kann eine Lehrkraft dieses Spiel zu linearen Funktionen kostenlos im Unterricht nutzen?

Ja: Beide Level sind kostenlos und laufen in dem Browser, den die Schulgeräte ohnehin haben, ohne Anmeldung und ohne Download. Zum Üben der Steigung an der Tafel zeichnest du ein Gitter, markierst (0; 1) und lässt die Klasse Punkte suchen, deren Steigung von dort aus 2 ist. Antworten wie (2; 5) oder (−1; −1) liegen alle auf derselben Geraden. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Lehrer-Dashboard, wer bei der Steigung sicherer wird.

Matheübung · neu gedacht

Lineare Funktionen Spiel

In diesem Kampf um lineare Funktionen ist die Steigung zwischen zwei Punkten immer eine ganze Zahl von −4 bis 4, nie 0, und jedes Gleichungssystem kombiniert x + y mit x − y. Dein Gegner bekommt dieselben Punkte: Lies die Gerade schneller, und dein Kämpfer trifft zuerst.

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Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion ist eine Regel, bei der sich y jedes Mal um denselben Wert ändert, wenn x um 1 wächst; ihr Graph ist deshalb eine Gerade. Man schreibt sie als y = mx + b: m ist die Steigung, also wie steil die Gerade ist, und b der y-Achsenabschnitt, wo sie die y-Achse schneidet. Eine 20 cm hohe Kerze, die pro Stunde 2 cm abbrennt, folgt y = 20 − 2x.

Alle Stufen von Linear functions

Beispiel: x + y = 17 und x − y = 9

Das Spiel zeigt dir zwei Gleichungen auf einmal und fragt nur nach x: x + y = 17 und x − y = 9.
Addiere die beiden Gleichungen: +y und −y heben sich auf, links bleibt 2x, rechts 17 + 9 = 26.
Wenn 2x = 26 ist, ist x die Hälfte von 26, also x = 13.
Mach die Probe mit y = 17 − 13 = 4: Da 13 − 4 = 9 stimmt, gelten beide Gleichungen, und du tippst 13.

Schritt für Schritt lernen

Slope is how steep a line is, and it is measured as rise over run: how far the line climbs for every step it takes sideways.

Given two points, subtract the y-values to get the rise and the x-values to get the run, then divide. From (1; 2) to (4; 11): the rise is 11 − 2 = 9, the run is 4 − 1 = 3, so the slope is 3. The line goes up three for every one across.

Order matters only in that you must be consistent — start at the same point for both subtractions, or you will get the sign backwards.

A positive slope climbs to the right and a negative one falls. The number is a rate: on a distance-time graph it is speed, on a cost graph it is price per item.

Find the rise, find the run, divide, and type the slope.

Tipps und häufige Fehler

Achte auf das Vorzeichen vor y. Bei entgegengesetzten Vorzeichen wie +y und −y fällt y beim Addieren der Gleichungen weg, bei gleichen Vorzeichen beim Subtrahieren.
Ein häufiger Fehler ist, bei 2x = 30 aufzuhören und 30 einzutippen. Die Summe der Gleichungen ergibt das Doppelte von x, also halbiere vor der Antwort: x = 15.
Zum Üben von Geraden zu Hause zeichnest du mit deinem Kind y = 2x + 1 auf Karopapier, von x = 0 bis x = 3. Jeder Punkt liegt 2 Kästchen höher, und ein Lineal verbindet alle.

So wird gespielt

Das Steigungslevel zeigt zwei Punkte, etwa „Steigung von (2; 5) nach (4; 3)“, und du tippst −1, mit der Minustaste für fallende Geraden. Level zwei ist ein Spiel mit Gleichungssystemen: Bei x + y = 22 und x − y = 8 tippst du nur x ein, also 15. Antworte vor deinem Gegner, und Pilz schlägt zu, umso härter, je schneller du bist.

— Kurze Antworten —

Linear functions: das kurze FAQ

Was ist ein lineares Gleichungssystem?: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus Gleichungen mit denselben Unbekannten, die alle gleichzeitig stimmen müssen. Für sich allein hat x + y = 12 unendlich viele Lösungen: 5 und 7, 9 und 3 und viele mehr. Kommt x − y = 2 dazu, passt nur noch x = 7, y = 5 zu beiden. Im Koordinatensystem ist dieses Paar der Schnittpunkt der zwei Geraden.
Wie löst man ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren?: Beim Additionsverfahren bringst du eine Unbekannte zum Verschwinden und löst dann nach der anderen auf. In 3x + 2y = 16 und x − y = 2 heben sich die y noch nicht auf. Multipliziere die zweite Gleichung mit 2 zu 2x − 2y = 4 und addiere beide: 5x = 20, also x = 4. Setzt du 4 in x − y = 2 ein, ergibt sich y = 2.
Wie merkt man sich, welche Differenz bei der Steigung oben steht?: Teste die Formel an einer Geraden, die du schon kennst. Die Gerade y = 2x geht durch (0; 0) und (1; 2), steigt also um 2 pro Schritt nach rechts, und ihre Steigung muss 2 sein. Das klappt nur mit 2 durch 1, nie mit 1 durch 2: Die Differenz der y-Werte steht immer oben, die der x-Werte unten.
Warum hält mein Kind eine negative Steigung für weniger steil?: Viele Lernende halten −4 für eine flachere Steigung als 2, weil −4 die kleinere Zahl ist. Wie steil eine Gerade ist, hängt aber vom Betrag der Steigung ab, also ohne Vorzeichen: Bei −4 fällt sie um 4 pro Schritt nach rechts, bei 2 steigt sie nur um 2. Vergleiche die Beträge, um die Steilheit zu beurteilen, und nutze das Vorzeichen nur, um zu sehen, ob die Gerade steigt oder fällt.
Kann eine Lehrkraft dieses Spiel zu linearen Funktionen kostenlos im Unterricht nutzen?: Ja: Beide Level sind kostenlos und laufen in dem Browser, den die Schulgeräte ohnehin haben, ohne Anmeldung und ohne Download. Zum Üben der Steigung an der Tafel zeichnest du ein Gitter, markierst (0; 1) und lässt die Klasse Punkte suchen, deren Steigung von dort aus 2 ist. Antworten wie (2; 5) oder (−1; −1) liegen alle auf derselben Geraden. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Lehrer-Dashboard, wer bei der Steigung sicherer wird.

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