Was bedeutet Potenz einer Potenz?

Die Regel für die Potenz einer Potenz besagt: Wird eine Potenz erneut potenziert, multipliziert man die Exponenten, also (aᵐ)ⁿ = a^(m × n). Zum Beispiel bedeutet (5²)³ drei Kopien von 5², miteinander multipliziert: 5² × 5² × 5². Dreimal 2 addiert ergibt 6, und 2 × 3 ist der kurze Weg dorthin, also ist das Ergebnis 5⁶.

Wie vereinfacht man Potenzen mit gleicher Basis?

Prüf zuerst die Basen, denn diese Gesetze gelten nur, wenn sie gleich sind. Dann schau auf die Rechenart zwischen den Potenzen: Eine Multiplikation verlangt, die Exponenten zu addieren, eine Division, sie zu subtrahieren, und ein Exponent außerhalb der Klammer, sie zu multiplizieren. Bei verschiedenen Basen wie 2³ × 3² hilft kein Gesetz, also rechnest du jede Potenz aus: 8 × 9 = 72.

In welchem Alter lernt man die Potenzgesetze?

In vielen Schulsystemen kommen die Potenzgesetze etwa im Alter von 11 bis 14 Jahren dran, wenn Quadrat- und Kubikzahlen schon vertraut sind. Die beiden Level hier sind für 12- bis 13-Jährige gedacht. Wichtiger als das Schuljahr ist die Gewohnheit: Wer jedes Gesetz aus wiederholter Multiplikation herleiten kann, muss es nicht auswendig lernen.

Warum addiert mein Kind die Exponenten bei (2³)⁴?

Die Produktregel kommt meist zuerst, deshalb sehen zwei Exponenten schnell nach einer Summe aus. Die Klammer auszuschreiben hilft: (2³)⁴ ist 2³ × 2³ × 2³ × 2³, vier Gruppen aus drei Faktoren 2, also zwölf Faktoren 2. Das Ergebnis ist darum 2¹², nicht 2⁷. Echte Zahlen bestätigen es: 8⁴ = 4096, und 2¹² = 4096 ebenfalls.

Können meine Schüler dieses Spiel zu Exponenten kostenlos im Unterricht spielen?

Ja: Öffne die Seite in einem beliebigen Browser auf den Laptops oder Tablets der Klasse, und beide Level sind kostenlos, ohne Anmeldung und ohne Download. Für eine Übung zu den Potenzgesetzen schreibst du 3¹² in die Mitte der Tafel. Die Schüler erreichen die Zahl mit jedem Gesetz, etwa mit 3⁵ × 3⁷, 3¹⁵ : 3³ oder (3⁴)³. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Lehrer-Dashboard, wer bei Exponenten schneller wird.

Matheübung · neu gedacht

Potenzgesetze Spiel

Diese Herausforderung zu den Potenzgesetzen fragt nie nach dem Wert einer Potenz: Die Basis bleibt zwischen 2 und 9, und du tippst nur den neuen Exponenten, von 1 bis 36. Jongliere schneller mit den kleinen Hochzahlen als dein Gegner, dann teilt dein Kämpfer die Schläge aus.

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Was sind die Potenzgesetze?

Die Potenzgesetze sind Abkürzungen, um Potenzen mit gleicher Basis zu verbinden, also mit derselben Zahl, die multipliziert wird. Beim Multiplizieren solcher Potenzen addiert man die Exponenten, beim Dividieren subtrahiert man sie, und beim Potenzieren einer Potenz multipliziert man sie. Zehnerpotenzen machen es sichtbar: 10³ × 10² = 1000 × 100 = 100000, eine 1 mit fünf Nullen, also 10⁵.

Alle Stufen von Potenzgesetze

Beispiel: Welche Potenz von 8 ist 8⁷ : 8⁴?

Beide Potenzen haben die Basis 8, also ist auch das Ergebnis eine Potenz von 8, und nur ihr Exponent fehlt.
Schreib es als Bruch: sieben Achten multipliziert oben, vier unten. Jede 8 unten kürzt sich mit einer oben weg, und drei bleiben übrig.
Das ist die Subtraktion 7 − 4 = 3, also 8⁷ : 8⁴ = 8³.
Tippe 3, den Exponenten, auf dem Tastenfeld ein, nicht 512, den Wert von 8³.

Schritt für Schritt lernen

Wenn zwei Potenzen dieselbe Basis teilen, musst du sie nicht den langen Weg ausrechnen — es gibt eine Abkürzung, die allein mit den Exponenten arbeitet.

Multiplizieren ADDIERT die Exponenten: 2³ × 2⁵ bedeutet (2×2×2) × (2×2×2×2×2) — acht Zweier hintereinander — also ist es 2⁸, und 3 + 5 = 8. Dividieren macht das Gegenteil und SUBTRAHIERT: 2⁷ : 2² = 2⁵, weil 7 − 2 = 5. Die Basis ändert sich nie; nur der Exponent.

Addiere (bei ×) oder subtrahiere (bei :) die Exponenten und tipp den neuen ein.

Tipps und häufige Fehler

Jedes Gesetz geht eine Stufe auf der Leiter der Rechenarten hinunter: Potenzen multiplizieren heißt Exponenten addieren, dividieren heißt subtrahieren, potenzieren heißt multiplizieren.
Ein häufiger Fehler ist, auch die Basen zu multiplizieren: 3² × 3⁴ ist 3⁶, nicht 9⁶. Prüf es mit Werten: 9 × 81 = 729, und 3⁶ ist ebenfalls 729.
Kartenspiel für zu Hause: Zieht zwei Exponenten, etwa 4 und 6. Wer zuerst den neuen Exponenten fürs Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren nennt, gewinnt: 10, 2, 24.

So wird gespielt

Jede Runde zeigt Potenzen mit derselben Basis, etwa 6⁹ × 6² = 6^? oder (7²)⁵ = 7^?, und ein hochgestelltes Fragezeichen steht dort, wo der Exponent fehlt. Tippe nur diesen Exponenten ein, hier 11 oder 10, nie den riesigen Wert. Bist du vor deinem Gegner richtig, greift Tomate an, und je schneller deine Antwort, desto härter der Schlag.

— Kurze Antworten —

Potenzgesetze: das kurze FAQ

Was bedeutet Potenz einer Potenz?: Die Regel für die Potenz einer Potenz besagt: Wird eine Potenz erneut potenziert, multipliziert man die Exponenten, also (a^m)ⁿ = a^{(m × n)}. Zum Beispiel bedeutet (5²)³ drei Kopien von 5², miteinander multipliziert: 5² × 5² × 5². Dreimal 2 addiert ergibt 6, und 2 × 3 ist der kurze Weg dorthin, also ist das Ergebnis 5⁶.
Wie vereinfacht man Potenzen mit gleicher Basis?: Prüf zuerst die Basen, denn diese Gesetze gelten nur, wenn sie gleich sind. Dann schau auf die Rechenart zwischen den Potenzen: Eine Multiplikation verlangt, die Exponenten zu addieren, eine Division, sie zu subtrahieren, und ein Exponent außerhalb der Klammer, sie zu multiplizieren. Bei verschiedenen Basen wie 2³ × 3² hilft kein Gesetz, also rechnest du jede Potenz aus: 8 × 9 = 72.
In welchem Alter lernt man die Potenzgesetze?: In vielen Schulsystemen kommen die Potenzgesetze etwa im Alter von 11 bis 14 Jahren dran, wenn Quadrat- und Kubikzahlen schon vertraut sind. Die beiden Level hier sind für 12- bis 13-Jährige gedacht. Wichtiger als das Schuljahr ist die Gewohnheit: Wer jedes Gesetz aus wiederholter Multiplikation herleiten kann, muss es nicht auswendig lernen.
Warum addiert mein Kind die Exponenten bei (2³)⁴?: Die Produktregel kommt meist zuerst, deshalb sehen zwei Exponenten schnell nach einer Summe aus. Die Klammer auszuschreiben hilft: (2³)⁴ ist 2³ × 2³ × 2³ × 2³, vier Gruppen aus drei Faktoren 2, also zwölf Faktoren 2. Das Ergebnis ist darum 2¹², nicht 2⁷. Echte Zahlen bestätigen es: 8⁴ = 4096, und 2¹² = 4096 ebenfalls.
Können meine Schüler dieses Spiel zu Exponenten kostenlos im Unterricht spielen?: Ja: Öffne die Seite in einem beliebigen Browser auf den Laptops oder Tablets der Klasse, und beide Level sind kostenlos, ohne Anmeldung und ohne Download. Für eine Übung zu den Potenzgesetzen schreibst du 3¹² in die Mitte der Tafel. Die Schüler erreichen die Zahl mit jedem Gesetz, etwa mit 3⁵ × 3⁷, 3¹⁵ : 3³ oder (3⁴)³. Mit dem Schulplan, abgerechnet pro Schüler, zeigt ein Lehrer-Dashboard, wer bei Exponenten schneller wird.

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