Què indica el producte escalar de dos vectors?

El producte escalar indica amb un sol nombre fins a quin punt dos vectors estan alineats: és el producte dels seus dos mòduls pel cosinus de l’angle que formen. És positiu si formen menys de 90°, val 0 si formen un angle recte i és negatiu si s’obren més. Per a ⟨2; 6⟩ i ⟨3; −1⟩ val 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, així que són perpendiculars. Al joc totes les components van de l’1 al 9, per això el producte sempre surt positiu.

Com es passen coordenades polars a cartesianes?

Per passar a cartesianes, multiplica la longitud r per cos θ per obtenir x i per sin θ per obtenir y. Les coordenades polars situen un punt amb una distància i un angle; les cartesianes, amb un avanç horitzontal i un altre de vertical. Amb r = 12 i θ = 30°, y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. El joc fa servir r parells i angles amb sinus o cosinus 0, ½ o 1, de vegades en negatiu, així que el resultat surt enter.

Hi ha algun truc per calcular de pressa el mòdul d’un vector?

El truc més ràpid és reconèixer la terna pitagòrica que hi ha darrere del vector: tres nombres enters en què els quadrats dels dos primers sumen el quadrat del tercer. Tots els vectors del joc surten de només cinc ternes, com 5, 12 i 13 o 8, 15 i 17, o d’un múltiple d’alguna. Així, ⟨16; 12⟩ és ⟨4; 3⟩ quatre vegades, i el seu mòdul és 4 × 5 = 20.

Per què em surt negativa la component x?

Una x negativa és la resposta correcta sempre que l’angle passa de 90°, perquè aleshores la fletxa apunta cap a l’esquerra del seu origen. Com que cos 120° = −½, amb r = 8 i θ = 120° surt x = 8 × (−½) = −4, i a 180° la x és la longitud sencera amb signe menys. Escriu-la amb la tecla del menys. Aquí la y mai no surt negativa, perquè cap angle no passa de 180°.

Aquest joc de matemàtiques amb vectors és gratuït, i com el faig servir a classe?

Sí, els tres nivells de vectors són gratuïts en qualsevol navegador, i ningú no s’ha de registrar ni instal·lar res. Per engegar la classe, pregunta quantes fletxes amb components enteres fan exactament 13 de llarg. Per parelles les busquen, com ⟨5; 12⟩ o ⟨−13; 0⟩, fins que surten les 12; dibuixades des d’un mateix punt, les puntes formen una circumferència. Amb el pla per a escoles, el docent paga per alumne i veu en un tauler qui millora.

Pràctica de mates · reinventada

Joc de vectors

Aquest joc de matemàtiques amb vectors et dona fletxes com a parells, per exemple ⟨24; 7⟩, o com una longitud i un angle, i totes les respostes són enteres, de −24 a 162. Arriba-hi primer i el teu lluitador colpeja mentre el teu rival encara eleva al quadrat i suma.

De 4 a 99+ anys · sense descàrregues · juga al navegador · 23 idiomes

Tria el teu nivell ▸

Què és un vector?

Un vector és una quantitat amb mida, direcció i sentit, que es dibuixa com una fletxa. Un vent de 20 km/h és només una velocitat fins que dius que bufa cap al nord; aleshores és un vector. Dues fletxes són el mateix vector si fan la mateixa llargada i apunten en la mateixa direcció i sentit, comencin on comencin.

Tots els nivells de Vectors

Exemple: el mòdul de ⟨24; 7⟩

Les barres al voltant de ⟨24; 7⟩ demanen el seu mòdul, és a dir, la seva longitud: la fletxa avança 24 en horitzontal i puja 7.
Multiplica cada component per ella mateixa: 24 × 24 = 576 i 7 × 7 = 49.
Suma els dos quadrats, que donen 625, i busca el nombre que multiplicat per ell mateix fa 625: és el 25.
La fletxa fa 25, just una mica més que els seus 24 en horitzontal, així que escrius 25.

Aprèn-ho pas a pas

Un vector ⟨x, y⟩ és una fletxa: fes x passos cap al costat i y passos cap amunt. El seu mòdul és simplement com de LLARGA és aquesta fletxa, mesurada en línia recta de l'inici a la punta.

Com que el pas lateral i el pas cap amunt formen un angle recte, la fletxa és la hipotenusa d'un triangle rectangle, així que la seva longitud és √(x² + y²), el teorema de Pitàgores. Per a ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Aquests estan triats perquè la longitud surti sempre un número sencer.)

Eleva al quadrat cada part, suma, treu l'arrel quadrada i escriu la longitud.

Consells i errors habituals

Imagina θ = 0°: la fletxa queda estirada sobre l’eix x, així que x és tota la longitud r. Com que cos 0° = 1, la x va amb el cosinus i la y amb el sinus.
Un error freqüent és sumar les dues components: ⟨12; 9⟩ no fa 21 de llarg, perquè la fletxa recta talla per la diagonal. El correcte és 144 + 81 = 225, i √225 = 15.
Per practicar la suma de vectors, camina 6 rajoles, gira en angle recte i camina’n 8: ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Un cordill estès fins a la sortida fa 10 rajoles.

Com es juga

Els vectors arriben a la pantalla de tres maneres: |⟨21; 20⟩| demana un mòdul, 29; r=10, θ=120°, x=? demana −5, amb la tecla del menys; i ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ demana un producte escalar, 39. Escriu cada nombre enter al teclat abans que el teu rival, i Bitxo colpeja més fort com més aviat arribi el teu.

— Respostes ràpides —

Vectors: les preguntes ràpides

Què indica el producte escalar de dos vectors?: El producte escalar indica amb un sol nombre fins a quin punt dos vectors estan alineats: és el producte dels seus dos mòduls pel cosinus de l’angle que formen. És positiu si formen menys de 90°, val 0 si formen un angle recte i és negatiu si s’obren més. Per a ⟨2; 6⟩ i ⟨3; −1⟩ val 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, així que són perpendiculars. Al joc totes les components van de l’1 al 9, per això el producte sempre surt positiu.
Com es passen coordenades polars a cartesianes?: Per passar a cartesianes, multiplica la longitud r per cos θ per obtenir x i per sin θ per obtenir y. Les coordenades polars situen un punt amb una distància i un angle; les cartesianes, amb un avanç horitzontal i un altre de vertical. Amb r = 12 i θ = 30°, y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. El joc fa servir r parells i angles amb sinus o cosinus 0, ½ o 1, de vegades en negatiu, així que el resultat surt enter.
Hi ha algun truc per calcular de pressa el mòdul d’un vector?: El truc més ràpid és reconèixer la terna pitagòrica que hi ha darrere del vector: tres nombres enters en què els quadrats dels dos primers sumen el quadrat del tercer. Tots els vectors del joc surten de només cinc ternes, com 5, 12 i 13 o 8, 15 i 17, o d’un múltiple d’alguna. Així, ⟨16; 12⟩ és ⟨4; 3⟩ quatre vegades, i el seu mòdul és 4 × 5 = 20.
Per què em surt negativa la component x?: Una x negativa és la resposta correcta sempre que l’angle passa de 90°, perquè aleshores la fletxa apunta cap a l’esquerra del seu origen. Com que cos 120° = −½, amb r = 8 i θ = 120° surt x = 8 × (−½) = −4, i a 180° la x és la longitud sencera amb signe menys. Escriu-la amb la tecla del menys. Aquí la y mai no surt negativa, perquè cap angle no passa de 180°.
Aquest joc de matemàtiques amb vectors és gratuït, i com el faig servir a classe?: Sí, els tres nivells de vectors són gratuïts en qualsevol navegador, i ningú no s’ha de registrar ni instal·lar res. Per engegar la classe, pregunta quantes fletxes amb components enteres fan exactament 13 de llarg. Per parelles les busquen, com ⟨5; 12⟩ o ⟨−13; 0⟩, fins que surten les 12; dibuixades des d’un mateix punt, les puntes formen una circumferència. Amb el pla per a escoles, el docent paga per alumne i veu en un tauler qui millora.

Més mates per dominar

A punt per repartir?

Juga gratis ▸