Pràctica de mates · reinventada
Joc de sumes de progressions
Aquest repte de sumar progressions et fa sumar fins a 40 termes d’una progressió aritmètica d’un sol cop i arriba a la sèrie de la funció ex, on x7 va dividit per 5040. Sumar terme a terme és massa lent: el primer total correcte llança el teu lluitador a l’atac.
De 4 a 99+ anys · sense descàrregues · juga al navegador · 23 idiomes
Què és una sèrie en matemàtiques?
Una sèrie és la suma d’una successió: els nombres d’una llista ordenada, anomenats termes, sumats en un sol total. La successió 3; 5; 7; 9 té quatre termes, però la sèrie 3 + 5 + 7 + 9 és un sol nombre, 24. N’hi ha de curtes, de llargues i fins i tot d’infinites, i sovint una fórmula dona el total sense sumar cada terme.
Exemple: 1 + 2 + 4 + ⋯ amb 5 termes
- Cada terme duplica l’anterior, així que els cinc termes són 1, 2, 4, 8 i 16.
- Suma’ls d’un en un: 1 + 2 = 3, després 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 i 15 + 16 = 31.
- Comprova-ho amb la drecera d’aquest patró: 25 = 32, i la suma és un menys, 31.
- La suma és 31, així que escrius 31 al teclat.
Aprèn-ho pas a pas
A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.
The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.
The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.
Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.
Consells i errors habituals
- Per sumar 1 + 2 + ⋯ + n, multiplica n pel nombre següent i fes-ne la meitat: en 1 + 2 + ⋯ + 12, 12 × 13 = 156, i la meitat és 78.
- Un error freqüent és buscar la diferència entre termes. Amb a₁ = 15, aₙ = 44 i n = 6 aquesta diferència és 5,8, però la suma és només la meitat de 6 × 59: 177.
- Lluny de la pantalla, repta algú a una cursa: un suma 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 terme a terme i l’altre fa la meitat de 10 × 22. Tots dos han d’arribar a 110.
Com es juga
Al primer nivell, cada ronda mostra una suma per acabar, com «Suma: a₁=13, aₙ=37, n=12», que dona el primer terme, l’últim i quants n’hi ha, així que escrius 300. Un altre nivell funciona com un joc de sèries geomètriques en miniatura: «1+2+4+⋯, 7 termes, suma=?» demana 127. Guanya el rival amb el total i Tomàquet ataca; un total ràpid es converteix en un cop fort.
— Respostes ràpides —
Series: les preguntes ràpides
- Què és una sèrie geomètrica?
- Una sèrie geomètrica suma termes que surten de multiplicar l’anterior per un mateix nombre, anomenat raó. En 3 + 6 + 12 + 24 la raó és 2 i la suma és 45. Amb primer terme a, raó r i n termes, la suma és a(rn − 1)/(r − 1), de manera que aquí 3 × 15/1 = 45. El nivell geomètric d’aquest joc fa servir el cas més senzill: 1 + 2 + 4 + ⋯, amb raó 2.
- Com es calcula la suma d’una progressió aritmètica?
- La suma d’una progressió aritmètica es calcula amb tres dades: el primer terme, l’últim i quants termes hi ha. Si falta l’últim, construeix-lo amb la diferència d, el salt fix entre termes: aₙ = a₁ + (n − 1)d. En 4 + 7 + 10 + ⋯ amb 10 termes, l’últim és 4 + 9 × 3 = 31, així que la suma és la meitat de 10 × 35: 175.
- Com es recorda la sèrie de la funció eˣ?
- Recorda-la com a parelles que lliguen: cada potència de x va sobre el factorial del mateix nombre. Així, ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ⋯, on n!, que es llegeix «n factorial», és 1 × 2 × ⋯ × n. Per això el terme en x5 va sobre 5! = 120. Si poses x = 1, els termes sumen el mateix nombre e, uns 2,72.
- Per què es compten malament els termes d’una progressió?
- Molts alumnes divideixen la distància pel salt i obliden comptar el primer terme. De 5 a 50 de 3 en 3 hi ha 15 salts, perquè 50 − 5 = 45 conté 15 vegades el 3, però hi ha 16 termes. Pensa en els pals d’una tanca: 15 espais necessiten 16 pals. Així, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 té 16 termes i suma 440, no 412,5.
- Com es pot començar una classe de progressions amb aquest joc, i és gratuït?
- Pots començar amb una cursa a la pissarra, i el joc no costa res: cada nivell s’obre al navegador, sense registre ni descàrregues. Per practicar sumes de progressions aritmètiques, escriu 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ i fes que la classe digui en veu alta cada suma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Quan vegin els quadrats, demana la suma dels 30 primers senars: 900. Amb el pla per a escoles, amb preu per alumne, un tauler mostra qui avança amb les sumes.
Més mates per dominar