Joc de límits

Què és un límit en càlcul?

Un límit és el valor al qual s’acosta una funció quan x s’acosta cada cop més a un nombre. Escriure lim x→3 vol dir «quan x tendeix a 3», i la funció ni tan sols ha de tenir valor en 3. Camina cap a una porta fent cada cop la meitat del que falta: t’hi acostes tant com vulguis, i la porta és el teu límit.

Exemple: el límit de (x² − 11x + 28) / (x − 7) quan x → 7

1. Substitueix primer x = 7: el numerador dona 49 − 77 + 28 = 0 i el denominador, 7 − 7 = 0, així que obtens 0/0, una indeterminació que encara no dona el límit.
2. Busca dos nombres que multiplicats donin 28 i sumats donin 11: són 7 i 4, així que el numerador es factoritza com (x − 7)(x − 4).
3. Simplifica el factor (x − 7), que és a dalt i a baix, i només queda x − 4.
4. Ara substitueix 7 a x − 4 i surt 3: el límit és 3, així que escrius 3.

Consells i errors habituals

• Segueix sempre el mateix ordre: primer substitueix, i si surt un nombre, ja està. Si surt 0/0, factoritza i simplifica. Si x → ∞, compara només les potències més altes.
• Un error freqüent és ratllar les x de (x² − 25) / (x − 5) una per una. Només se simplifiquen factors sencers: abans reescriu el numerador com (x − 5)(x + 5).
• A casa, una calculadora fa visible el límit: prova x = 3,9; 3,99 i 3,999 a (x² − 16) / (x − 4). Els resultats, 7,9; 7,99 i 7,999, s’acosten a 8.

— Respostes ràpides —

Límit: les preguntes ràpides

Què vol dir x → ∞ en un límit?

Vol dir que x creix sense parar i supera qualsevol nombre que puguis dir, així que ∞ és una direcció, no un valor que es pugui substituir. El límit pregunta a quin valor s’acosta la funció pel camí. Quan x creix, 1/x s’acosta a 0. En canvi, 12x dividit entre 4x val 3 per a qualsevol x diferent de 0, així que el seu límit a l’infinit és 3.

Com es resol un límit amb una diferència de cubs?

Factoritza el numerador amb la identitat a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). A (x³ − 64) / (x − 4) quan x → 4, queda (x − 4)(x² + 4x + 16). Simplifica el (x − 4) i substitueix: 16 + 16 + 16 = 48. Per a aquesta forma hi ha una comprovació ràpida: el triple del quadrat del nombre al qual tendeix x, 3 × 4² = 48.

A quina edat s’estudien els límits?

En molts sistemes educatius, els límits s’estudien cap als 16 a 18 anys, al final de la secundària, i tornen al primer curs de càlcul de la universitat. Les classes solen seguir l’ordre d’aquests nivells: primer substituir, després resoldre indeterminacions 0/0 i finalment límits a l’infinit. Aquí els nivells estan pensats per a edats de 16 a 18 anys.

Per què em surt malament un límit després de simplificar?

Gairebé sempre la simplificació és correcta i falta l’últim pas: el que queda encara s’ha d’avaluar en el punt. A (x² − 13x + 36) / (x − 9) quan x → 9, el numerador és (x − 9)(x − 4). En simplificar queda x − 4, així que el límit és 9 − 4 = 5. Escriure 4, el nombre que queda dins del parèntesi, és l’error típic.

Aquest joc sobre límits és gratis i com el pot fer servir una classe de càlcul?

Sí, els tres nivells són gratis per a una classe i s’obren en qualsevol pestanya del navegador, sense comptes ni instal·lacions. Per practicar límits de càlcul, escriu a la pissarra (x² − 9) / (x − 3), (x³ − 27) / (x − 3) i (x² − 5x + 6) / (x − 3). Totes tres donen 0/0 a x = 3, però els grups que les factoritzen troben límits de 6, 27 i 1. Amb el pla per a escoles, que es paga per alumne, un tauler docent mostra qui resol límits cada cop més de pressa.