Què vol dir dx en una integral?

En una integral, dx indica la variable al llarg de la qual sumes i representa una amplada minúscula de x. Així, ∫ 6x² dx es llegeix com una suma de franges de 6x² d’alt i dx d’ample. Fes les franges cada cop més primes i el total es converteix en l’àrea exacta. Sense el dx, la integral no diria en quina direcció tallar.

Com es calcula una integral definida?

Una integral definida es calcula en tres passos. Busca una primitiva, una funció la derivada de la qual sigui la que hi ha dins la integral. Avalua-la al límit superior i resta-li el valor al límit inferior. Per a 2x d’1 a 3, la primitiva és x², així que 9 − 1 = 8. En aquest joc el límit inferior sempre és 0, on aquestes primitives valen 0.

Com es recorda la regla de la potència per integrar?

Pensa en els mitjons i les sabates: primer et poses els mitjons, però primer et treus les sabates. En derivar multipliques per l’exponent i després li restes u, així que en integrar desfàs aquests passos en ordre invers: l’exponent puja u i després divideixes pel nou exponent. Així, 12x³ passa a 3x⁴, i en derivar 3x⁴ torna 12x³.

Quin és l’error més comú en la integració per substitució?

L’error més comú és oblidar el nombre que acompanya la x dins del parèntesi. A ∫(3x + 2)⁴ dx, pujar l’exponent dona (3x + 2)⁵ entre 5, però el parèntesi creix 3 vegades més de pressa que x, així que també divideixes entre 3. El denominador és 3 × 5 = 15, no 5. En derivar (3x + 2)⁵ / 15 recuperes exactament (3x + 2)⁴.

Quant costa portar aquest joc de càlcul integral a una classe?

Res: els tres nivells, de les potències soles a la substitució, s’obren en una pestanya del navegador als portàtils o tauletes del centre, sense comptes per a l’alumnat. Per practicar integrals a la pissarra, demana als grups funcions amb una àrea de 0 a 2 d’exactament 8. La constant 4, la recta 4x i la corba 3x² hi encaixen, amb tres formes ben diferents. Amb el pla per a escoles, que es paga per alumne, un tauler docent mostra qui millora amb les integrals.

Pràctica de mates · reinventada

Joc d’integrals

En aquest joc sobre integrals, cada àrea comença a x = 0 i acaba a 2 o a 3, i el nivell de substitució només demana un denominador. El teu rival integra la mateixa corba, així que cada pas que t’estalvies fa que el teu lluitador colpegi primer.

De 4 a 99+ anys · sense descàrregues · juga al navegador · 23 idiomes

Tria el teu nivell ▸

Què és una integral?

Una integral suma una quantitat que no para de canviar. Si una corba queda per sobre de l’eix x, la integral definida dona l’àrea que hi ha a sota entre dos valors de x, anomenats els seus límits. Imagina la gràfica de la velocitat d’un cotxe durant un viatge: l’àrea sota aquesta gràfica és la distància recorreguda.

Tots els nivells de Integral

Exemple: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Integra terme a terme: 3x² passa a ser x³, 8x passa a ser 4x², i el 5 sol passa a ser 5x.
Substitueix el límit superior, x = 2, a x³ + 4x² + 5x: dona 8 + 16 + 10 = 34.
Al límit inferior, x = 0, tots els termes valen 0, així que no es resta res i escrius 34.

Aprèn-ho pas a pas

Integrar és derivar al revés: suma llesques minúscules per trobar l'ÀREA sota una corba.

La regla de la potència es gira: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — puja l'exponent en una unitat i després divideix pel nou exponent. Per a ∫2x dx de 0 a 3: això és x² avaluada a 3 → 9.

Integra, avalua al límit superior (aquí el de baix és 0) i escriu l'àrea.

Consells i errors habituals

Llegeix els símbols com una frase: ∫ és una S allargada de «suma», i dx és una amplada finíssima. Així, ∫ 6x² dx vol dir sumar franges primes d’altura 6x².
Un error freqüent és multiplicar pel nou exponent en lloc de dividir. 6x² s’integra com 2x³, no 18x³; deriva el resultat i hauries de recuperar 6x².
En paper quadriculat, dibuixa la recta y = x de 0 a 6 i compta els quadrats que queden a sota. El triangle en cobreix 18, just el que prediu x²/2 a 6.

Com es juga

Als dos primers nivells, cada ronda mostra una àrea per trobar, com ∫(0→3) 8x³ dx, i tecleges el nombre enter que val: 162. El nivell de substitució mostra ∫(2x+5)³ dx i només demana el denominador del resultat: 8. Respon abans que el teu rival i Pastanaga colpeja, més fort com més aviat l’encertis.

— Respostes ràpides —

Integral: les preguntes ràpides

Què vol dir dx en una integral?: En una integral, dx indica la variable al llarg de la qual sumes i representa una amplada minúscula de x. Així, ∫ 6x² dx es llegeix com una suma de franges de 6x² d’alt i dx d’ample. Fes les franges cada cop més primes i el total es converteix en l’àrea exacta. Sense el dx, la integral no diria en quina direcció tallar.
Com es calcula una integral definida?: Una integral definida es calcula en tres passos. Busca una primitiva, una funció la derivada de la qual sigui la que hi ha dins la integral. Avalua-la al límit superior i resta-li el valor al límit inferior. Per a 2x d’1 a 3, la primitiva és x², així que 9 − 1 = 8. En aquest joc el límit inferior sempre és 0, on aquestes primitives valen 0.
Com es recorda la regla de la potència per integrar?: Pensa en els mitjons i les sabates: primer et poses els mitjons, però primer et treus les sabates. En derivar multipliques per l’exponent i després li restes u, així que en integrar desfàs aquests passos en ordre invers: l’exponent puja u i després divideixes pel nou exponent. Així, 12x³ passa a 3x⁴, i en derivar 3x⁴ torna 12x³.
Quin és l’error més comú en la integració per substitució?: L’error més comú és oblidar el nombre que acompanya la x dins del parèntesi. A ∫(3x + 2)⁴ dx, pujar l’exponent dona (3x + 2)⁵ entre 5, però el parèntesi creix 3 vegades més de pressa que x, així que també divideixes entre 3. El denominador és 3 × 5 = 15, no 5. En derivar (3x + 2)⁵ / 15 recuperes exactament (3x + 2)⁴.
Quant costa portar aquest joc de càlcul integral a una classe?: Res: els tres nivells, de les potències soles a la substitució, s’obren en una pestanya del navegador als portàtils o tauletes del centre, sense comptes per a l’alumnat. Per practicar integrals a la pissarra, demana als grups funcions amb una àrea de 0 a 2 d’exactament 8. La constant 4, la recta 4x i la corba 3x² hi encaixen, amb tres formes ben diferents. Amb el pla per a escoles, que es paga per alumne, un tauler docent mostra qui millora amb les integrals.

Més mates per dominar

A punt per repartir?

Juga gratis ▸