d/dx vol dir «derivada respecte de x»: és una ordre per saber com de ràpid canvia el que ve després quan canvia x. Així, d/dx [x³] = 3x², que es llegeix «la derivada de x al cub és tres x al quadrat». La d indica una diferència minúscula, i per això d/dx recorda un pendent: un canvi d’altura dividit per un canvi de x.

Com es deriva un polinomi?

Un polinomi es deriva terme a terme, aplicant la regla de la potència a cadascun. A 3x² + 4x + 6, el 3x² passa a 6x, el 4x passa a 4 i el 6 desapareix, perquè una constant no canvia mai. Així doncs, la derivada és 6x + 4, i el seu valor a x = 2 és 6 × 2 + 4 = 16.

Com es recorda la regla del producte?

Recorda la regla del producte com un joc de torns: derives el primer factor mentre el segon espera, després el segon mentre espera el primer, i sumes els dos resultats. En símbols, (fg)′ = f′g + fg′. Comprova-la amb x² · x³: dona 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, just el que obtens si derives x⁵ directament.

Per què m’equivoco amb la regla de la cadena?

Gairebé tots els errors amb la regla de la cadena venen d’oblidar l’interior del parèntesi. A (2x + 7)⁵, baixar el 5 dona 5(2x + 7)⁴, però l’interior, 2x + 7, també canvia amb x, a un ritme de 2. Multiplica també per aquest 2 i la derivada és 10(2x + 7)⁴. Deixar fora aquest ritme interior és l’error clàssic.

Pot un professor de càlcul fer servir gratis aquest joc sobre derivades?

Sí, i sense pagar res: els sis nivells funcionen al navegador de qualsevol portàtil o tauleta de l’escola, sense comptes ni descàrregues. Per començar a practicar derivades a classe, dibuixa y = x² a la pissarra i demana als grups el pendent entre x = 3 i x = 4, després fins a 3,5 i després fins a 3,1. Obtenen 7, després 6,5 i després 6,1, cada cop més a prop de 6, la derivada a 3. Amb el pla per a escoles, amb preu per alumne, un tauler docent mostra qui millora.

Pràctica de mates · reinventada

Joc de derivades

Aquest joc amb derivades va de la regla de la potència en x = 2 fins a les derivades parcials, i cada resposta és un nombre enter del 2 al 200, mai una fórmula. Deriva més de pressa que el teu rival i el teu lluitador colpeja mentre l’altre encara baixa exponents.

De 4 a 99+ anys · sense descàrregues · juga al navegador · 23 idiomes

Tria el teu nivell ▸

Què és una derivada?

La derivada és la rapidesa amb què canvia una funció en un punt concret, i en una gràfica és el pendent de la corba en aquell punt. S’escriu f′(x) o d/dx. Pensa en un velocímetre: mentre un cotxe avança, la distància recorreguda creix, i l’agulla marca com de ràpid creix en aquell mateix instant.

Tots els nivells de Derivada

Exemple: la derivada de 5x³ en el punt x = 2

Baixa l’exponent 3 al davant i multiplica’l pel 5: això fa 15.
Després resta u a l’exponent, de 3 a 2, així que la derivada és 15x².
Ara substitueix x = 2: 2² és 4 i 15 × 4 = 60, així que escrius 60.

Aprèn-ho pas a pas

Una derivada mesura amb quina rapidesa canvia una cosa: el pendent de la corba en un punt.

La regla de la potència: d/dx d'axⁿ és (a·n)·xⁿ⁻¹ — multiplica per l'exponent i després baixa l'exponent en una unitat. Així, d/dx de 3x² és 6x; a x = 2 això fa 12.

Aplica la regla, substitueix el punt i escriu el pendent.

Consells i errors habituals

En la regla de la potència, l’exponent sempre baixa exactament u: x⁴ dona un terme en x³, x² dona un terme en x, i una x sola dona un nombre.
Un error freqüent és substituir massa aviat. Si poses x = 2 a 4x³ primer, obtens 32, una constant amb derivada 0. Primer deriva i després substitueix.
Amb qui estigui aprenent, dibuixa y = x² en un paper i recolza un regle a la corba a x = 1, 2 i 3. S’inclina més cada cop, com els pendents 2, 4 i 6.

Com es juga

Una ronda típica mostra d/dx [4x³] a x=2, i teclejes el valor de la derivada en aquell punt: 48. Als nivells de la regla de la cadena i del producte només escrius el nombre del davant: la derivada de (3x + 1)⁵ és 15(3x + 1)⁴, així que teclejes 15. Si encertes abans que el teu rival, Bròquil ataca, i com menys trigues, més fort és el cop.

— Respostes ràpides —

Derivada: les preguntes ràpides

Què vol dir d/dx?: d/dx vol dir «derivada respecte de x»: és una ordre per saber com de ràpid canvia el que ve després quan canvia x. Així, d/dx [x³] = 3x², que es llegeix «la derivada de x al cub és tres x al quadrat». La d indica una diferència minúscula, i per això d/dx recorda un pendent: un canvi d’altura dividit per un canvi de x.
Com es deriva un polinomi?: Un polinomi es deriva terme a terme, aplicant la regla de la potència a cadascun. A 3x² + 4x + 6, el 3x² passa a 6x, el 4x passa a 4 i el 6 desapareix, perquè una constant no canvia mai. Així doncs, la derivada és 6x + 4, i el seu valor a x = 2 és 6 × 2 + 4 = 16.
Com es recorda la regla del producte?: Recorda la regla del producte com un joc de torns: derives el primer factor mentre el segon espera, després el segon mentre espera el primer, i sumes els dos resultats. En símbols, (fg)′ = f′g + fg′. Comprova-la amb x² · x³: dona 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, just el que obtens si derives x⁵ directament.
Per què m’equivoco amb la regla de la cadena?: Gairebé tots els errors amb la regla de la cadena venen d’oblidar l’interior del parèntesi. A (2x + 7)⁵, baixar el 5 dona 5(2x + 7)⁴, però l’interior, 2x + 7, també canvia amb x, a un ritme de 2. Multiplica també per aquest 2 i la derivada és 10(2x + 7)⁴. Deixar fora aquest ritme interior és l’error clàssic.
Pot un professor de càlcul fer servir gratis aquest joc sobre derivades?: Sí, i sense pagar res: els sis nivells funcionen al navegador de qualsevol portàtil o tauleta de l’escola, sense comptes ni descàrregues. Per començar a practicar derivades a classe, dibuixa y = x² a la pissarra i demana als grups el pendent entre x = 3 i x = 4, després fins a 3,5 i després fins a 3,1. Obtenen 7, després 6,5 i després 6,1, cada cop més a prop de 6, la derivada a 3. Amb el pla per a escoles, amb preu per alumne, un tauler docent mostra qui millora.

Més mates per dominar

A punt per repartir?

Juga gratis ▸