Joc del màxim comú divisor

Què és el màxim comú divisor?

El màxim comú divisor, o MCD, de dos nombres és el nombre més gran que els divideix tots dos sense deixar residu. Imagina que reparteixes 8 maduixes i 12 grans de raïm en plats i tots han de quedar iguals: com a màxim surten 4 plats, cadascun amb 2 maduixes i 3 grans de raïm.

Exemple: troba MCD(30; 24)

1. A la pantalla surt MCD(30; 24), així que busques el nombre més gran que divideix 30 i 24.
2. Escriu els divisors del més petit, 24: són 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24.
3. Prova’ls amb 30 començant per dalt: 24, 12 i 8 deixen residu, però 30 : 6 = 5 exacte.
4. Per tant, el MCD és 6, i escrius 6 al teclat.

Consells i errors habituals

• Llegeix el nom al revés i et dona el mètode: busca els divisors de cada nombre, queda’t amb els comuns i tria el màxim.
• Un error freqüent és quedar-se amb el primer divisor comú. 18 i 42 són parells, però 6 també els divideix tots dos, així que MCD(18; 42) és 6, no 2.
• Tria dues edats de la família, com 12 i 40, i mira qui troba abans el nombre més gran que divideix totes dues. És 4: 12 són tres quatres i 40 són deu quatres.

— Respostes ràpides —

MCD: les preguntes ràpides

Què vol dir que el MCD de dos nombres sigui 1?

Vol dir que els dos nombres no comparteixen cap divisor a part de l’1, i es diu que són primers entre si, o coprimers. 8 i 15 en són un bon exemple: 8 és 2 × 2 × 2 i 15 és 3 × 5, així que cap factor no apareix en tots dos. No cal que cap dels dos sigui primer: ni el 8 ni el 15 ho són.

Com es calcula el MCD de nombres grans?

Amb nombres grans, l’algorisme d’Euclides és més ràpid que escriure divisors. Divideix el nombre gran entre el petit i queda’t amb el residu. Després divideix el petit entre aquest residu, i repeteix fins que no en quedi res. L’últim nombre pel qual has dividit és el MCD. Amb 165 i 132, el primer residu és 33, i 132 entre 33 dona residu 0, així que el MCD és 33.

Hi ha una manera ràpida de saber si dos nombres tenen un divisor comú?

Sí, els criteris de divisibilitat donen pistes ràpides. Si tots dos nombres són parells, el 2 els divideix. Si tots dos acaben en 0 o en 5, també ho fa el 5. Si les xifres de cada nombre sumen un múltiple de 3, el 3 els divideix tots dos: en 84 i 141, les sumes són 12 i 6. Una pista compartida demostra un divisor comú, però potser se n’amaga un de més gran.

Per què el meu fill confon el MCD i el mcm?

Es confonen perquè tots dos parteixen dels mateixos dos nombres i tots dos porten la paraula «comú». El MCD divideix tots dos nombres, així que mai no és més gran que el més petit. El mcm, o mínim comú múltiple, és el nombre més petit que tots dos divideixen, així que mai no és més petit que el més gran. Per a 6 i 8, el MCD és 2 i el mcm és 24.

Aquest joc de MCD costa alguna cosa, i serveix per a una classe?

No costa res: els dos nivells funcionen al navegador dels portàtils, tauletes o mòbils de l’escola, sense registres ni instal·lacions. Per practicar el màxim comú divisor a la pissarra, dibuixa dos cercles que es creuen. L’alumnat n’omple un amb els divisors de 18 i l’altre amb els de 24, i passa els comuns, 1, 2, 3 i 6, a la zona compartida. El més gran, el 6, és el MCD. El pla per a escoles, amb preu per alumne, afegeix un tauler per al professorat que mostra qui progressa.