Joc de combinatòria

Què són les permutacions i les combinacions?

Les permutacions i les combinacions són dues maneres de comptar eleccions sense haver d’escriure-les totes. Una combinació és un grup en què l’ordre no importa: poma i pera formen la mateixa parella que pera i poma. Una permutació de k elements presos de n, que a classe també es diu variació, és una fila ordenada: menjar primer la poma i després la pera no és el mateix que al revés.

Exemple: quantes parelles pots formar amb 6?

1. El símbol ₆C₂ pregunta quantes parelles diferents pots triar entre 6 coses quan l’ordre no importa.
2. Si tries en ordre, tens 6 opcions per a la primera i 5 per a la segona: 6 × 5 = 30 eleccions ordenades.
3. Cada parella s’ha comptat dues vegades, com A i després B i com B i després A, així que agafes la meitat de 30 i escrius 15.

Consells i errors habituals

• A ₆P₃, el 3 petit et diu quants nombres has de multiplicar, comptant enrere des de 6: 6 × 5 × 4 = 120. Atura’t aquí, no continuïs fins a 1.
• Un error freqüent és comptar els dos ordres en una combinació. A ₄C₂, si apuntes AB i BA per separat en surten 12; ratlla les repeticions i queden 6 parelles.
• En un dinar familiar, pregunta quantes encaixades de mans hi ha si cada persona saluda una vegada totes les altres. Set persones en fan 21, és a dir ₇C₂, i cada convidat nou n’afegeix més.

— Respostes ràpides —

Combinatòria: les preguntes ràpides

Quina diferència hi ha entre una permutació i una combinació?

La diferència és si intercanviar dos elements triats dona un resultat nou. En una permutació, sí, com en el codi d’una porta, on 1-2-3 i 3-2-1 són codis diferents. En una combinació, no, com en una mà de cartes. Amb 4 lletres, ₄P₃ = 24 però ₄C₃ = 4, perquè cada grup de 3 lletres es pot ordenar de 6 maneres.

Com es calculen les combinacions sense calculadora?

Compta les eleccions ordenades i divideix pel nombre de maneres d’ordenar cada grup. Per a ₇C₃ hi ha 7 × 6 × 5 = 210 eleccions ordenades de tres. Cada grup de tres s’ordena de 3 × 2 × 1 = 6 maneres, així que ₇C₃ = 210 : 6 = 35. És més ràpid simplificar abans: el 6 de dalt s’anul·la amb el 6 de baix i queda 7 × 5 = 35.

Hi ha una drecera per calcular combinacions?

Sí: el triangle de Pascal, també anomenat de Tartaglia, conté totes les combinacions. Comença amb un 1 a dalt i escriu cada nombre nou com la suma dels dos que té a sobre. La fila 6, si la de dalt és la fila 0, diu 1, 6, 15, 20, 15, 6 i 1, així que ₆C₃ = 20. La fila és simètrica, per això ₆C₄ = ₆C₂ = 15: triar-ne 4 per quedar-te’ls és el mateix que triar-ne 2 per deixar-los fora.

Per què l’alumnat confon permutacions i combinacions?

L’alumnat les confon perquè les dues preguntes sovint sonen semblants i l’enunciat no sempre diu si l’ordre compta. Un cas petit ho aclareix. Amb A, B i C, les parelles són AB, AC i BC, així que ₃C₂ = 3. Les eleccions ordenades són aquestes tres més BA, CA i CB, així que ₃P₂ = 6. Veure les dues llistes juntes fixa la diferència.

Hi ha alguna manera gratuïta de portar la combinatòria a classe?

N’hi ha: els tres nivells, també la barreja olímpica, s’obren gratis en qualsevol navegador, sense comptes per a l’alumnat ni instal·lacions. Per practicar el recompte a la pissarra, fes sortir 5 voluntaris i pregunta quants comitès de 3 podrien formar. Després pregunta de quantes maneres podrien repartir-se presidència, secretaria i tresoreria. Les respostes, 10 i 60, mostren que cada comitè s’ordena de 6 maneres. Amb el pla per a escoles, amb preu per alumne, un tauler docent segueix el progrés de cada alumne.