ماذا يخبرك الضرب القياسي لمتجهين؟

الضرب القياسي يخبرك بعدد واحد إلى أي حد يتجه متجهان في الاتجاه نفسه: إنه حاصل ضرب طوليهما في جيب تمام الزاوية بينهما. يكون موجبًا إذا كانت الزاوية أصغر من ⁦90°⁩، ويساوي 0 عند الزاوية القائمة، ويكون سالبًا إذا زادت عليها. للمتجهين ⁦⟨2, 6⟩⁩ و⁦⟨3, −1⟩⁩ يساوي ⁦2 × 3 + 6 × (−1) = 0⁩، فهما متعامدان. وفي اللعبة كل مركّبة بين 1 و9، لذلك يكون الناتج موجبًا دائمًا.

كيف تحوّل الإحداثيات القطبية إلى ديكارتية؟

للحصول على الإحداثيات الديكارتية، اضرب الطول r في cos θ لتحصل على x، وفي sin θ لتحصل على y. الإحداثيات القطبية تحدد النقطة بمسافة وزاوية، أما الديكارتية فبخطوة أفقية وأخرى رأسية. إذا كان ⁦r = 12⁩ و⁦θ = 30°⁩، فإن ⁦y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6⁩. تختار اللعبة r زوجيًا وزوايا جيبها أو جيب تمامها 0 أو ⁦½⁩ أو 1، وأحيانًا بإشارة سالبة، فيخرج الناتج عددًا صحيحًا.

هل توجد حيلة لإيجاد طول المتجه بسرعة؟

أسرع حيلة أن تتعرّف على ثلاثية فيثاغورس وراء المتجه: ثلاثة أعداد صحيحة مجموع مربعي الأولين منها يساوي مربع الثالث. تبني اللعبة كل متجهاتها من خمس ثلاثيات فقط، مثل 5 و12 و13 أو 8 و15 و17، أو من مضاعفاتها. لذلك فإن ⁦⟨16, 12⟩⁩ هو ⁦⟨4, 3⟩⁩ مضروبًا في أربعة، وطوله ⁦4 × 5 = 20⁩.

لماذا تخرج مركّبة x عندي سالبة؟

تكون x السالبة هي الإجابة الصحيحة كلما تجاوزت الزاوية ⁦90°⁩، لأن السهم يشير حينها إلى يسار نقطة بدايته. وبما أن ⁦cos 120° = −½⁩، فإن ⁦r = 8⁩ و⁦θ = 120°⁩ يعطيان ⁦x = 8 × (−½) = −4⁩، وعند ⁦180°⁩ تكون x سالب الطول كله. اكتبها بمفتاح السالب. ولا تكون y هنا سالبة أبدًا، لأن الزوايا لا تتجاوز ⁦180°⁩.

هل لعبة رياضيات المتجهات هذه مجانية، وكيف يستخدمها المعلم في الصف؟

نعم، المستويات الثلاثة للمتجهات مجانية في أي متصفح، ولا يحتاج أحد إلى تسجيل أو تثبيت. وللإحماء، اسأل الصف: كم سهمًا مركّباته أعداد صحيحة وطوله 13 تمامًا؟ يبحث التلاميذ عنها في أزواج، مثل ⁦⟨5, 12⟩⁩ و⁦⟨−13, 0⟩⁩، حتى يجدوا الاثني عشر كلها؛ وإذا رُسمت من نقطة واحدة وقعت رؤوسها على دائرة. ومع خطة المدارس يدفع المعلم عن كل تلميذ ويرى على لوحة متابعة من يتحسن.

تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة

لعبة المتجهات

في لعبة رياضيات المتجهات هذه تأتي الأسهم أزواجًا مثل ⁦⟨24, 7⟩⁩ أو طولًا مع زاوية، وكل إجابة عدد صحيح بين ⁦−24⁩ و162. أجب أولًا، فيضرب مقاتلك بينما لا يزال خصمك يربّع ويجمع.

للأعمار ⁦4–99+⁩ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة

اختر مستواك ▸

ما هو المتجه؟

المتجه كمية لها مقدار واتجاه، ونرسمها سهمًا. الريح التي سرعتها 20 كم/س ليست إلا سرعة حتى تقول إنها تهب نحو الشمال؛ عندها تصبح متجهًا. والسهمان يمثلان المتجه نفسه إذا تساوى طولاهما واتجها الاتجاه نفسه، أينما بدآ.

كل مستويات المتجهات

مثال: طول المتجه ⁦⟨24, 7⟩⁩

الخطان العموديان حول ⁦⟨24, 7⟩⁩ يطلبان طوله: يمتد السهم 24 أفقيًا و7 إلى الأعلى.
اضرب كل مركّبة في نفسها: ⁦24 × 24 = 576⁩ و⁦7 × 7 = 49⁩.
اجمع المربعين لتحصل على 625، ثم ابحث عن العدد الذي إذا ضُرب في نفسه أعطى 625: إنه 25.
طول السهم 25، أي أكثر بقليل من امتداده الأفقي 24، لذلك تكتب 25.

تعلّمها خطوة بخطوة

المتجه ⟨x، y⟩ سهم: سِر x خطوات عرضًا وy خطوات ارتفاعًا. مقداره هو فقط كم طول ذلك السهم، مقيسًا مستقيمًا من البداية إلى الطرف.

بما أن الخطوة العرضية والخطوة الارتفاعية تصنعان زاوية قائمة، فالسهم هو وتر مثلث قائم — فطوله ⁦√(x² + y²)⁩، نظرية فيثاغورس. لـ⟨3، 4⟩: ⁦√(9 + 16) = √25 = 5⁩. (هذه مختارة بحيث يخرج الطول دائمًا عددًا صحيحًا.)

ربّع كل جزء، اجمع، خذ الجذر التربيعي، واكتب الطول.

نصائح وأخطاء شائعة

تخيّل ⁦θ = 0°⁩: السهم ممدد على محور x، فتكون x هي الطول كله r. وبما أن ⁦cos 0° = 1⁩، فإن x ترافق cos، وy ترافق sin.
من الأخطاء الشائعة جمع المركّبتين: طول ⁦⟨12, 9⟩⁩ ليس 21، لأن السهم المستقيم يختصر الزاوية. الصحيح أن ⁦144 + 81 = 225⁩، و⁦√225 = 15⁩.
تدرّب على جمع المتجهات على الأرض: امشِ 6 بلاطات، ثم استدر بزاوية قائمة وامشِ 8، أي ⁦⟨6, 0⟩ + ⟨0, 8⟩ = ⟨6, 8⟩⁩. والخيط المشدود إلى نقطة البداية طوله 10 بلاطات.

طريقة اللعب

تظهر المتجهات على الشاشة بثلاثة أشكال: ⁦|⟨21, 20⟩|⁩ يطلب طولًا، 29؛ و⁦r=10, θ=120°, x=?⁩ ينتظر ⁦−5⁩ بمفتاح السالب؛ و⁦⟨7, 2⟩ · ⟨3, 9⟩⁩ يطلب ضربًا قياسيًا، 39. اكتب كل عدد صحيح على لوحة المفاتيح قبل خصمك، فيضرب فلفل حار أقوى كلما وصلت إجابتك أسرع.

— إجابات سريعة —

المتجهات: الأسئلة الشائعة باختصار

ماذا يخبرك الضرب القياسي لمتجهين؟: الضرب القياسي يخبرك بعدد واحد إلى أي حد يتجه متجهان في الاتجاه نفسه: إنه حاصل ضرب طوليهما في جيب تمام الزاوية بينهما. يكون موجبًا إذا كانت الزاوية أصغر من ⁦90°⁩، ويساوي 0 عند الزاوية القائمة، ويكون سالبًا إذا زادت عليها. للمتجهين ⁦⟨2, 6⟩⁩ و⁦⟨3, −1⟩⁩ يساوي ⁦2 × 3 + 6 × (−1) = 0⁩، فهما متعامدان. وفي اللعبة كل مركّبة بين 1 و9، لذلك يكون الناتج موجبًا دائمًا.
كيف تحوّل الإحداثيات القطبية إلى ديكارتية؟: للحصول على الإحداثيات الديكارتية، اضرب الطول r في cos θ لتحصل على x، وفي sin θ لتحصل على y. الإحداثيات القطبية تحدد النقطة بمسافة وزاوية، أما الديكارتية فبخطوة أفقية وأخرى رأسية. إذا كان ⁦r = 12⁩ و⁦θ = 30°⁩، فإن ⁦y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6⁩. تختار اللعبة r زوجيًا وزوايا جيبها أو جيب تمامها 0 أو ⁦½⁩ أو 1، وأحيانًا بإشارة سالبة، فيخرج الناتج عددًا صحيحًا.
هل توجد حيلة لإيجاد طول المتجه بسرعة؟: أسرع حيلة أن تتعرّف على ثلاثية فيثاغورس وراء المتجه: ثلاثة أعداد صحيحة مجموع مربعي الأولين منها يساوي مربع الثالث. تبني اللعبة كل متجهاتها من خمس ثلاثيات فقط، مثل 5 و12 و13 أو 8 و15 و17، أو من مضاعفاتها. لذلك فإن ⁦⟨16, 12⟩⁩ هو ⁦⟨4, 3⟩⁩ مضروبًا في أربعة، وطوله ⁦4 × 5 = 20⁩.
لماذا تخرج مركّبة x عندي سالبة؟: تكون x السالبة هي الإجابة الصحيحة كلما تجاوزت الزاوية ⁦90°⁩، لأن السهم يشير حينها إلى يسار نقطة بدايته. وبما أن ⁦cos 120° = −½⁩، فإن ⁦r = 8⁩ و⁦θ = 120°⁩ يعطيان ⁦x = 8 × (−½) = −4⁩، وعند ⁦180°⁩ تكون x سالب الطول كله. اكتبها بمفتاح السالب. ولا تكون y هنا سالبة أبدًا، لأن الزوايا لا تتجاوز ⁦180°⁩.
هل لعبة رياضيات المتجهات هذه مجانية، وكيف يستخدمها المعلم في الصف؟: نعم، المستويات الثلاثة للمتجهات مجانية في أي متصفح، ولا يحتاج أحد إلى تسجيل أو تثبيت. وللإحماء، اسأل الصف: كم سهمًا مركّباته أعداد صحيحة وطوله 13 تمامًا؟ يبحث التلاميذ عنها في أزواج، مثل ⁦⟨5, 12⟩⁩ و⁦⟨−13, 0⟩⁩، حتى يجدوا الاثني عشر كلها؛ وإذا رُسمت من نقطة واحدة وقعت رؤوسها على دائرة. ومع خطة المدارس يدفع المعلم عن كل تلميذ ويرى على لوحة متابعة من يتحسن.

المزيد من الرياضيات لإتقانها

مستعد للنزال؟

العب مجاناً ▸