ما هي المتسلسلة الهندسية؟

المتسلسلة الهندسية تجمع حدودًا يأتي كل منها من ضرب الحد السابق في العدد نفسه، ويسمى هذا العدد الأساس. في ⁦3 + 6 + 12 + 24⁩ الأساس 2 والمجموع 45. إذا كان الحد الأول a والأساس r وعدد الحدود n، فالمجموع ⁦a(rⁿ − 1)/(r − 1)⁩، أي هنا ⁦3 × 15/1 = 45⁩. ويستعمل المستوى الهندسي في هذه اللعبة أبسط حالة: ⁦1 + 2 + 4 + ⋯⁩، بأساس 2.

كيف أجد مجموع متتالية حسابية؟

تجد مجموع المتتالية الحسابية من ثلاث معلومات: الحد الأول والحد الأخير وعدد الحدود. وإذا نقص الحد الأخير فابنِه من أساسها d، أي القفزة الثابتة بين الحدود: ⁦aₙ = a₁ + (n − 1)d⁩. في ⁦4 + 7 + 10 + ⋯⁩ بعشرة حدود يكون الحد الأخير ⁦4 + 9 × 3 = 31⁩، لذا فالمجموع نصف ⁦10 × 35⁩، أي 175.

كيف أتذكر متسلسلة eˣ؟

تذكّرها كأزواج متطابقة: كل قوة لـ x تقع فوق مضروب العدد نفسه. أي إن ⁦eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯⁩، حيث ⁦n!⁩، ويُقرأ «مضروب n»، يساوي ⁦1 × 2 × ⋯ × n⁩. لذلك يقع الحد x⁵ فوق ⁦5! = 120⁩. وإذا وضعت ⁦x = 1⁩ فإن مجموع الحدود هو العدد e نفسه، نحو 2.72.

لماذا يخطئ الطلاب في عدّ حدود المتسلسلة؟

كثير من الطلاب يقسمون المسافة على الخطوة وينسون عدّ الحد الأول. من 5 إلى 50 بخطوات من 3 توجد 15 قفزة، لأن ⁦50 − 5 = 45⁩ وفيها العدد 3 خمس عشرة مرة، لكن عدد الحدود 16. فكّر في أعمدة السياج: 15 فراغًا تحتاج إلى 16 عمودًا. لذلك فإن ⁦5 + 8 + 11 + ⋯ + 50⁩ فيها 16 حدًّا ومجموعها 440، لا 412.5.

كيف يبدأ المعلم درسًا في المتسلسلات بهذه اللعبة، وهل هي مجانية؟

يمكنك أن تبدأ بسباق على السبورة، واللعبة لا تكلّف شيئًا: كل مستوى يُفتح في المتصفح، بلا تسجيل ولا تنزيل. وللتدرّب على المتسلسلات الحسابية، اكتب ⁦1 + 3 + 5 + 7 + ⋯⁩ ودع الصف يعلن كل مجموع جزئي بصوت عالٍ: 1 و4 و9 و16 و25. وحين يلاحظ الطلاب المربعات، اسأل عن مجموع أول 30 عددًا فرديًا: 900. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تُظهر لوحةٌ من يتحسن في المجاميع.

تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة

لعبة المتسلسلات والمجاميع

في هذا التحدي مع المتسلسلات والمجاميع تجمع حتى 40 حدًّا من متتالية حسابية دفعة واحدة، وفي القمة تنتظرك متسلسلة e^x التي يقع فيها x⁷ فوق 5040. الجمع حدًّا حدًّا بطيء جدًا هنا: أول مجموع صحيح يطلق مقاتلك إلى الهجوم.

للأعمار ⁦4–99+⁩ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة

اختر مستواك ▸

ما هي المتسلسلة في الرياضيات؟

المتسلسلة هي مجموع متتالية: أعداد قائمة مرتبة، تسمى حدودًا، تُجمع في ناتج واحد. المتتالية 3, 5, 7, 9 لها أربعة حدود، أما المتسلسلة ⁦3 + 5 + 7 + 9⁩ فهي عدد واحد: 24. قد تكون المتسلسلة قصيرة أو طويلة أو حتى لا نهائية، وكثيرًا ما تعطي صيغةٌ المجموعَ دون جمع كل حد.

كل مستويات Series

مثال: ⁦1 + 2 + 4 + ⋯⁩ بخمسة حدود

كل حد ضعف الحد الذي قبله، لذا فالحدود الخمسة هي 1 و2 و4 و8 و16.
اجمعها واحدًا تلو الآخر: ⁦1 + 2 = 3⁩، ثم ⁦3 + 4 = 7⁩، و⁦7 + 8 = 15⁩، و⁦15 + 16 = 31⁩.
تحقّق باختصار هذا النمط: ⁦2⁵ = 32⁩، والمجموع أقل منه بواحد، أي 31.
المجموع 31، لذلك تكتب 31 على لوحة الأرقام.

تعلّمها خطوة بخطوة

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

نصائح وأخطاء شائعة

لجمع ⁦1 + 2 + ⋯ + n⁩ اضرب n في العدد الذي يليه ثم خذ النصف: في ⁦1 + 2 + ⋯ + 12⁩ يكون ⁦12 × 13 = 156⁩، ونصفه 78.
من الأخطاء الشائعة البحث عن الفرق بين الحدود. عندما ⁦a₁ = 15⁩ و⁦aₙ = 44⁩ و⁦n = 6⁩ يكون الفرق 5.8، لكن المجموع ببساطة نصف ⁦6 × 59⁩، أي 177.
بعيدًا عن الشاشة، تحدَّ أحدًا في سباق: يجمع أحدكما ⁦2 + 4 + 6 + ⋯ + 20⁩ حدًّا حدًّا، ويأخذ الآخر نصف ⁦10 × 22⁩. يجب أن يصل كلاكما إلى 110.

طريقة اللعب

في المستوى الأول، تعرض كل جولة مجموعًا عليك إكماله، مثل «المجموع: ⁦a₁=13, aₙ=37, n=12⁩» الذي يعطي الحد الأول والأخير وعدد الحدود، فتكتب 300. ويعمل مستوى آخر كلعبة صغيرة للمتسلسلات الهندسية: ⁦1+2+4+⋯⁩ بسبعة حدود يطلب 127. اسبق خصمك إلى المجموع فيضرب طماطم، والمجموع السريع يتحول إلى ضربة قوية.

— إجابات سريعة —

Series: الأسئلة الشائعة باختصار

ما هي المتسلسلة الهندسية؟: المتسلسلة الهندسية تجمع حدودًا يأتي كل منها من ضرب الحد السابق في العدد نفسه، ويسمى هذا العدد الأساس. في ⁦3 + 6 + 12 + 24⁩ الأساس 2 والمجموع 45. إذا كان الحد الأول a والأساس r وعدد الحدود n، فالمجموع ⁦a(rⁿ − 1)/(r − 1)⁩، أي هنا ⁦3 × 15/1 = 45⁩. ويستعمل المستوى الهندسي في هذه اللعبة أبسط حالة: ⁦1 + 2 + 4 + ⋯⁩، بأساس 2.
كيف أجد مجموع متتالية حسابية؟: تجد مجموع المتتالية الحسابية من ثلاث معلومات: الحد الأول والحد الأخير وعدد الحدود. وإذا نقص الحد الأخير فابنِه من أساسها d، أي القفزة الثابتة بين الحدود: ⁦aₙ = a₁ + (n − 1)d⁩. في ⁦4 + 7 + 10 + ⋯⁩ بعشرة حدود يكون الحد الأخير ⁦4 + 9 × 3 = 31⁩، لذا فالمجموع نصف ⁦10 × 35⁩، أي 175.
كيف أتذكر متسلسلة eˣ؟: تذكّرها كأزواج متطابقة: كل قوة لـ x تقع فوق مضروب العدد نفسه. أي إن ⁦e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯⁩، حيث ⁦n!⁩، ويُقرأ «مضروب n»، يساوي ⁦1 × 2 × ⋯ × n⁩. لذلك يقع الحد x⁵ فوق ⁦5! = 120⁩. وإذا وضعت ⁦x = 1⁩ فإن مجموع الحدود هو العدد e نفسه، نحو 2.72.
لماذا يخطئ الطلاب في عدّ حدود المتسلسلة؟: كثير من الطلاب يقسمون المسافة على الخطوة وينسون عدّ الحد الأول. من 5 إلى 50 بخطوات من 3 توجد 15 قفزة، لأن ⁦50 − 5 = 45⁩ وفيها العدد 3 خمس عشرة مرة، لكن عدد الحدود 16. فكّر في أعمدة السياج: 15 فراغًا تحتاج إلى 16 عمودًا. لذلك فإن ⁦5 + 8 + 11 + ⋯ + 50⁩ فيها 16 حدًّا ومجموعها 440، لا 412.5.
كيف يبدأ المعلم درسًا في المتسلسلات بهذه اللعبة، وهل هي مجانية؟: يمكنك أن تبدأ بسباق على السبورة، واللعبة لا تكلّف شيئًا: كل مستوى يُفتح في المتصفح، بلا تسجيل ولا تنزيل. وللتدرّب على المتسلسلات الحسابية، اكتب ⁦1 + 3 + 5 + 7 + ⋯⁩ ودع الصف يعلن كل مجموع جزئي بصوت عالٍ: 1 و4 و9 و16 و25. وحين يلاحظ الطلاب المربعات، اسأل عن مجموع أول 30 عددًا فرديًا: 900. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تُظهر لوحةٌ من يتحسن في المجاميع.

المزيد من الرياضيات لإتقانها

مستعد للنزال؟

العب مجاناً ▸