تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة
لعبة التباديل والتوافيق
في تحدي التباديل والتوافيق هذا لا تختار أبدًا من بين أكثر من 8 عناصر، ومع ذلك تمتد الإجابات من 4 إلى 1680، وهي قيمة ₈P₄ في المستوى الأولمبي. أنجز كل عدّ قبل خصمك، فتتحول كل إجابة صحيحة إلى ضربة من مقاتلك.
للأعمار 4–99+ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة
ما هي التباديل والتوافيق؟
التباديل والتوافيق طريقتان لعدّ الاختيارات من دون كتابتها كلها. التوفيق مجموعة لا يهم فيها الترتيب: التفاحة والإجاصة هما الزوج نفسه الذي تكوّنه الإجاصة والتفاحة. أما التبديل فصفّ مرتب: أن تأكل التفاحة أولًا ثم الإجاصة يختلف عن العكس.
مثال: كم زوجًا يمكنك اختياره من 6؟
- يسأل الرمز ₆C₂ عن عدد الأزواج المختلفة التي يمكنك اختيارها من 6 أشياء حين لا يهم الترتيب.
- إذا اخترت بالترتيب، فلديك 6 خيارات للأول و5 للثاني، أي 6 × 5 = 30 اختيارًا مرتبًا.
- كل زوج عُدّ مرتين، مرة A ثم B ومرة B ثم A، لذلك تأخذ نصف 30 وتكتب 15.
تعلّمها خطوة بخطوة
nCk تَعُدّ بكم طريقة تختار k أشياء من n حين لا يهم الترتيب — مثل اختيار فريق، حيث لا فرق لمن يُذكَر أولًا.
5C2 ("اختر 2 من 5") = 10. الصيغة هي n! ÷ (k! × (n−k)!)، لكن الفكرة ببساطة: كم مجموعة مختلفة يمكنك تشكيلها؟
اكتب عدد المجموعات الممكنة.
نصائح وأخطاء شائعة
- في ₆P₃ يخبرك العدد الصغير 3 بعدد الأعداد التي تضربها نزولًا من 6، أي 6 × 5 × 4 = 120. توقف هنا ولا تكمل حتى 1.
- من الأخطاء الشائعة عدّ الترتيبين في التوفيق. في ₄C₂ إذا كتبت AB وBA منفصلين تحصل على 12، فاشطب المكرر ليبقى 6 أزواج.
- في عشاء عائلي، اسأل كم مصافحة تحدث إذا صافح كل شخص جميع الآخرين مرة واحدة. سبعة أشخاص يعطون 21، أي ₇C₂، وكل ضيف جديد يزيد العدد.
طريقة اللعب
تعرض كل جولة رمزًا مثل ₇C₃ أو ₄P₂: العدد الصغير على اليسار يبيّن عدد العناصر كلها، والذي على اليمين يبيّن كم عنصرًا تختار. اكتب النتيجة على لوحة الأرقام وانظر إلى الحرف أولًا، لأن المستوى الأولمبي يخلط بين C وP. لا تصيب إلا أول إجابة صحيحة، ويضرب بروكلي أقوى كلما جاءت أبكر.
— إجابات سريعة —
التوافيق والتباديل: الأسئلة الشائعة باختصار
- ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟
- الفرق هو هل يعطي تبديل مكان عنصرين مختارين نتيجة جديدة أم لا. في التبديل يعطي، كما في رمز باب، حيث 1-2-3 و3-2-1 رمزان مختلفان. وفي التوفيق لا يعطي، كما في أوراق اللعب التي في يدك. من 4 أحرف يكون ₄P₃ = 24 لكن ₄C₃ = 4، لأن كل مجموعة من 3 أحرف يمكن ترتيبها بـ6 طرق.
- كيف تحسب التوافيق من دون آلة حاسبة؟
- عُدّ الاختيارات المرتبة، ثم اقسم على عدد طرق ترتيب كل مجموعة. في ₇C₃ توجد 7 × 6 × 5 = 210 اختيارات مرتبة لثلاثة عناصر. وكل مجموعة من ثلاثة تُرتَّب بـ3 × 2 × 1 = 6 طرق، إذن ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35. والاختصار أولًا أسرع: يُختصر العدد 6 في الأعلى مع العدد 6 في الأسفل، فيبقى 7 × 5 = 35.
- هل توجد حيلة لإيجاد التوافيق بسرعة؟
- نعم، مثلث باسكال يحوي التوافيق كلها. اكتب 1 في القمة، ثم اكتب كل عدد جديد على أنه مجموع العددين فوقه. الصف 6، إذا عددت صف القمة الصف 0، هو 1 و6 و15 و20 و15 و6 و1، إذن ₆C₃ = 20. والصف متماثل، لذلك ₆C₄ = ₆C₂ = 15: فاختيار 4 عناصر تبقى هو نفسه اختيار عنصرين يخرجان.
- لماذا يخلط الطلاب بين التباديل والتوافيق؟
- يخلط الطلاب بينهما لأن السؤالين يبدوان متشابهين غالبًا، ولا يذكر نص المسألة دائمًا هل الترتيب مهم. ومثال صغير يحسم الأمر. من A وB وC تكون الأزواج AB وAC وBC، إذن ₃C₂ = 3. أما الاختيارات المرتبة فهي هذه الثلاثة مع BA وCA وCB، إذن ₃P₂ = 6. ورؤية القائمتين جنبًا إلى جنب تثبّت الفرق.
- هل توجد طريقة مجانية لإدخال التباديل والتوافيق إلى الحصة؟
- توجد: المستويات الثلاثة، ومنها الخليط الأولمبي، تُفتح مجانًا في أي متصفح، بلا حسابات للطلاب ولا تثبيت. ولتمرين العدّ على السبورة، ادعُ 5 متطوعين واسأل كم لجنة من 3 أعضاء يمكنهم تكوينها. ثم اسأل بكم طريقة يمكنهم توزيع مناصب الرئيس والأمين وأمين الصندوق. الجوابان، 10 و60، يُظهران أن لكل لجنة 6 ترتيبات. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تُظهر لوحة متابعة للمعلّم من يتحسّن.