تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة
لعبة المشتقات
تمتد لعبة الاشتقاق هذه من قاعدة القوة عند x = 2 حتى المشتقات الجزئية، وكل إجابة فيها عدد صحيح من 2 إلى 200، لا صيغة أبدًا. اشتقّ أسرع من خصمك، فيضرب مقاتلك بينما لا يزال الآخر يُنزل الأسس إلى الأمام.
للأعمار 4–99+ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة
ما هي المشتقة؟
المشتقة هي مقدار سرعة تغيّر الدالة عند نقطة محددة، وهي على الرسم البياني ميل المنحنى عند تلك النقطة. ونكتبها f′(x) أو d/dx. فكّر في عداد السرعة: بينما تسير السيارة تزداد المسافة المقطوعة، ويُظهر المؤشر مدى سرعة ازديادها في تلك اللحظة بالذات.
كل مستويات المشتقة
- كثيرات الحدود الأحاديةالصف الثاني عشر · 17 سنةd/dx لـ axn، مُقيَّمة عند نقطة.العب مجاناً ▸
- Chain ruleالصف الثاني عشر · 17 سنةd/dx[(ax+b)n] = n·a·(ax+b)n−1العب مجاناً ▸
- Average rate of changeالصف الثاني عشر · 17 سنة[f(b) − f(a)] / (b − a)العب مجاناً ▸
- كثيرات الحدودالجامعة · 18+d/dx لتربيعية، مُقيَّمة عند نقطة.العب مجاناً ▸
- Product ruleالجامعة · 18+(fg)' = f'g + fg'العب مجاناً ▸
- Partial derivativeالجامعة · 18+∂/∂x treats y as a constantالعب مجاناً ▸
مثال: مشتقة 5x³ عند x = 2
- أنزِل الأس 3 إلى الأمام واضربه في 5، فيصبح لديك 15.
- ثم أنقص الأس واحدًا، من 3 إلى 2، فتكون المشتقة 15x2.
- الآن عوّض x = 2: العدد 22 يساوي 4، و15 × 4 = 60، لذلك تكتب 60.
تعلّمها خطوة بخطوة
المشتقة تقيس كم يتغيّر شيء ما بسرعة — انحدار المنحنى عند نقطة.
قاعدة القوة: d/dx لـ axn هي (a·n)·xn−1 — اضرب في الأُس، ثم أنقِص الأُس واحدًا. فـd/dx لـ3x2 هي 6x؛ وعند x = 2 تساوي 12.
طبّق القاعدة، عوّض النقطة، واكتب الميل.
نصائح وأخطاء شائعة
- في قاعدة القوة ينقص الأس دائمًا بواحد بالضبط: x4 يعطي حدًّا فيه x3، وx2 يعطي حدًّا فيه x، وx وحدها تعطي عددًا عاديًا.
- من الأخطاء الشائعة التعويض مبكرًا. إذا عوّضت x = 2 في 4x3 أولًا حصلت على 32، وهو ثابت مشتقته 0. اشتقّ أولًا ثم عوّض.
- ارسم y = x2 على ورقة مع متعلّم، وضع مسطرة تلامس المنحنى عند x = 1 و2 و3. تميل المسطرة أكثر في كل مرة، كما تتوقع الميول 2 و4 و6.
طريقة اللعب
تعرض جولة نموذجية d/dx [4x3] عند x=2، فتكتب قيمة المشتقة عند تلك النقطة: 48. وفي مستويات قاعدتي السلسلة والضرب تكتب العدد الذي في المقدمة فقط: مشتقة (3x + 1)5 هي 15(3x + 1)4، لذلك تكتب 15. أجب إجابة صحيحة قبل خصمك فيهاجم بروكلي، وكلما قلّ الوقت الذي استغرقته كانت الضربة أثقل.
— إجابات سريعة —
المشتقة: الأسئلة الشائعة باختصار
- ماذا يعني d/dx؟
- يعني d/dx «المشتقة بالنسبة إلى x»، وهو أمر بإيجاد مدى سرعة تغيّر ما يليه عندما يتغير x. لذا فإن d/dx [x3] = 3x2، وتُقرأ «مشتقة x تكعيب تساوي ثلاثة x تربيع». ويرمز الحرف d إلى فرق صغير جدًا، ولهذا يشبه d/dx الميل: تغيّر الارتفاع مقسومًا على تغيّر x.
- كيف نشتق كثيرة الحدود؟
- نشتق كثيرة الحدود حدًّا حدًّا، بتطبيق قاعدة القوة على كل حد. في 3x2 + 4x + 6 يصبح 3x2 هو 6x، ويصبح 4x هو 4، ويختفي 6 لأن الثابت لا يتغير أبدًا. إذن المشتقة 6x + 4، وقيمتها عند x = 2 هي 6 × 2 + 4 = 16.
- كيف أتذكر قاعدة مشتقة حاصل الضرب؟
- تذكّر قاعدة الضرب على أنها تناوب: تشتق العامل الأول بينما ينتظر الثاني، ثم الثاني بينما ينتظر الأول، وتجمع النتيجتين. وبالرموز: (fg)′ = f′g + fg′. جرّبها على x2 · x3: تعطي 2x · x3 + x2 · 3x2 = 5x4، وهذا بالضبط ما تحصل عليه باشتقاق x5 مباشرة.
- لماذا أخطئ دائمًا في قاعدة السلسلة؟
- معظم أخطاء قاعدة السلسلة سببها نسيان ما داخل القوس. في (2x + 7)5 يعطي إنزال الأس 5 المقدار 5(2x + 7)4، لكن ما بالداخل، 2x + 7، يتغير أيضًا مع x بمعدل 2. اضرب في هذا العدد 2 أيضًا، فتكون المشتقة 10(2x + 7)4. وإهمال مشتقة الداخل هو الخطأ الكلاسيكي.
- هل يستطيع معلم الرياضيات استخدام لعبة الاشتقاق هذه مجانًا؟
- نعم، ومن دون دفع أي شيء: تعمل المستويات الستة في متصفح أي حاسوب محمول أو جهاز لوحي في المدرسة، بلا حسابات ولا تنزيل. ولبدء تمرين على الاشتقاق في الصف، ارسم y = x2 على السبورة واطلب من المجموعات الميل بين x = 3 وx = 4، ثم حتى 3.5، ثم حتى 3.1. يحصلون على 7 ثم 6.5 ثم 6.1، فيقتربون من 6، وهي المشتقة عند 3. ومع خطة المدارس، بسعر لكل طالب، تُظهر لوحة المعلم من يتحسن.
المزيد من الرياضيات لإتقانها