تدريب على الرياضيات · بحُلّة جديدة
لعبة التكامل
في هذه المبارزة مع التكامل تبدأ كل مساحة عند x = 0 وتنتهي عند 2 أو 3، ولا يطلب مستوى التعويض إلا المقام. خصمك يكامل المنحنى نفسه، فكل خطوة توفرها تجعل مقاتلك يضرب أولًا.
للأعمار 4–99+ · بلا تنزيل · يعمل في متصفحك · 23 لغة
ما هو التكامل؟
التكامل يجمع كمية تتغير باستمرار. وإذا كان المنحنى فوق محور x، فإن التكامل المحدد يعطي المساحة تحته بين قيمتين لـ x تُسميان حدَّي التكامل. تخيّل رسمًا بيانيًا لسرعة سيارة خلال رحلة: المساحة تحت هذا الرسم هي المسافة التي قطعتها السيارة.
مثال: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx
- كامل الدالة حدًّا بعد حد: يصبح 3x2 هو x3، ويصبح 8x هو 4x2، ويصبح العدد 5 وحده 5x.
- عوّض الحد العلوي للتكامل x = 2 في x3 + 4x2 + 5x فتحصل على 8 + 16 + 10 = 34.
- عند الحد السفلي x = 0 تساوي جميع حدود الدالة 0، فلا يُطرح شيء، وتكتب 34.
تعلّمها خطوة بخطوة
التكامل هو الاشتقاق بالعكس — يجمع شرائح صغيرة لإيجاد المساحة تحت منحنى.
تنقلب قاعدة القوة: ∫axn dx = a·xn+1/(n+1) — ارفع الأُس واحدًا، ثم اقسم على الأُس الجديد. لـ∫2x dx من 0 إلى 3: ذلك x2 مُقيَّمًا عند 3 ← 9.
كامِل، قيّم عند الحد العلوي (الحد السفلي هنا 0)، واكتب المساحة.
نصائح وأخطاء شائعة
- اقرأ الرموز كأنها جملة: ∫ حرف S ممدود من الكلمة اللاتينية summa أي «مجموع»، وdx عرض رفيع جدًا. لذا يعني ∫ 6x2 dx جمع شرائح رفيعة ارتفاع كل منها 6x2.
- من الأخطاء الشائعة الضرب في الأس الجديد بدل القسمة عليه. تكامل 6x2 هو 2x3 وليس 18x3؛ اشتق إجابتك، ويجب أن تعود إلى 6x2.
- على ورق مربعات، ارسم المستقيم y = x من 0 إلى 6 وعُدّ المربعات تحته. يغطي المثلث 18 مربعًا، تمامًا كما تتنبأ x2/2 عند 6.
طريقة اللعب
في المستويين الأولين تعرض كل جولة مساحة عليك إيجادها، مثل ∫(0→3) 8x3 dx، فتكتب على لوحة الأرقام العدد الصحيح الذي تساويه: 162. أما مستوى التعويض فيعرض ∫(2x+5)3 dx ولا يطلب إلا مقام الناتج: 8. أجب قبل خصمك فيضرب جزر، وكلما أصبت أبكر كانت الضربة أقوى.
— إجابات سريعة —
التكامل: الأسئلة الشائعة باختصار
- ماذا يعني dx في التكامل؟
- في التكامل يحدد dx المتغير الذي نجمع على امتداده، ويمثل عرضًا صغيرًا جدًا من x. لذا يُقرأ ∫ 6x2 dx على أنه مجموع شرائح، ارتفاع كل منها 6x2 وعرضها dx. اجعل الشرائح أرفع فأرفع، فيصبح مجموعها المساحة الدقيقة. ومن دون dx لن يقول التكامل في أي اتجاه نقطّع.
- كيف تحسب التكامل المحدد؟
- يُحسب التكامل المحدد في ثلاث خطوات. جد دالة أصلية، أي دالة مشتقتها هي الدالة داخل التكامل. عوّض الحد العلوي، ثم اطرح قيمتها عند الحد السفلي. فلتكامل 2x من 1 إلى 3 تكون الدالة الأصلية x2، لذا 9 − 1 = 8. وفي هذه اللعبة يكون الحد السفلي دائمًا 0، وعنده تساوي هذه الدوال الأصلية 0.
- كيف تتذكر قاعدة القوة في التكامل؟
- فكّر في الجوارب والحذاء: تلبس الجوارب أولًا، لكنك تخلع الحذاء أولًا. الاشتقاق يضرب في الأس ثم ينقصه واحدًا، لذا يعكس التكامل هذه الخطوات بالترتيب المعاكس: يزيد الأس واحدًا أولًا، ثم تقسم على الأس الجديد. وهكذا يصبح 12x3 هو 3x4، واشتقاق 3x4 يعيد 12x3.
- ما الخطأ الأكثر شيوعًا في التكامل بالتعويض؟
- الخطأ الأكثر شيوعًا هو نسيان العدد المضروب في x داخل القوس. في ∫(3x + 2)4 dx يعطي رفع الأس (3x + 2)5 مقسومًا على 5، لكن ما داخل القوس يزداد أسرع من x بثلاث مرات، لذا تقسم على 3 أيضًا. المقام هو 3 × 5 = 15 وليس 5. واشتقاق (3x + 2)5 / 15 يعيد (3x + 2)4 تمامًا.
- كم يكلّف استخدام لعبة حساب التكامل هذه في الصف؟
- لا شيء: المستويات الثلاثة، من القوى المفردة إلى التعويض، تُفتح في تبويب متصفح على حواسيب المدرسة المحمولة أو أجهزتها اللوحية، بلا حسابات للطلاب. للتدرب على التكامل على السبورة، اطلب من المجموعات دوالّ مساحتها من 0 إلى 2 تساوي 8 تمامًا. الثابت 4 والمستقيم 4x والمنحنى 3x2 كلها تصلح، بثلاثة أشكال مختلفة جدًا. ومع خطة المدارس، المسعّرة لكل طالب، تُظهر لوحة المعلم من يتحسّن في التكامل.
المزيد من الرياضيات لإتقانها