Что показывает скалярное произведение двух векторов?

Скалярное произведение одним числом показывает, насколько два вектора смотрят в одну сторону: это произведение их длин на косинус угла между ними. При угле меньше 90° оно положительное, при прямом угле равно 0, а при большем угле отрицательное. Для ⟨2; 6⟩ и ⟨3; −1⟩ оно равно 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, значит, векторы перпендикулярны. В игре каждая координата от 1 до 9, поэтому произведение всегда положительное.

Как перевести полярные координаты в декартовы?

Чтобы получить декартовы координаты, умножь длину r на cos θ для x и на sin θ для y. Полярные координаты задают точку расстоянием и углом, а декартовы — шагом вправо и шагом вверх. При r = 12 и θ = 30° получаем y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Игра берёт чётные r и углы, у которых синус или косинус равен 0, ½ или 1, иногда со знаком минус, так что ответ всегда целый.

Есть ли приём, чтобы быстро найти длину вектора?

Самый быстрый приём — узнать пифагорову тройку за вектором: три целых числа, у которых сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Игра строит все векторы всего из пяти троек, например 5, 12 и 13 или 8, 15 и 17, либо из их кратных. Так, ⟨16; 12⟩ — это ⟨4; 3⟩, взятый четыре раза, и его длина 4 × 5 = 20.

Почему у меня отрицательная координата x?

Отрицательный x — верный ответ, когда угол больше 90°, потому что стрелка тогда смотрит левее начальной точки. Раз cos 120° = −½, при r = 8 и θ = 120° выходит x = 8 × (−½) = −4, а при 180° x равен всей длине со знаком минус. Вводи его клавишей минуса. Здесь y никогда не бывает отрицательным, ведь ни один угол не больше 180°.

Эта математическая игра о векторах бесплатна и как использовать её на уроке?

Да, все три уровня с векторами бесплатны в любом браузере, и никому не нужно регистрироваться или что-то устанавливать. Для разминки спроси класс, сколько стрелок с целыми координатами имеют длину ровно 13. Ученики ищут их в парах, например ⟨5; 12⟩ и ⟨−13; 0⟩, пока не найдут все 12; если начертить их из одной точки, концы лягут на окружность. С тарифом для школ учитель платит за каждого ученика и видит на панели, кто делает успехи.

Тренировка математики · переосмысленная

Игра с векторами

В этой математической игре о векторах стрелки приходят парами чисел, например ⟨24; 7⟩, или длиной с углом, и каждый ответ — целое число от −24 до 162. Успей первым, и твой боец ударит, пока соперник ещё возводит в квадрат и складывает.

Возраст 4–99+ · без скачивания · играй в браузере · 23 языков

Выбери свой уровень ▸

Что такое вектор?

Вектор — это величина, у которой есть длина и направление; его рисуют стрелкой. Ветер 20 км/ч — просто скорость, пока не скажешь, что он дует на север; тогда это вектор. Две стрелки задают один и тот же вектор, если они одной длины и смотрят в одну сторону, где бы они ни начинались.

Все уровни: Векторы

Пример: длина вектора ⟨24; 7⟩

Палочки вокруг ⟨24; 7⟩ просят найти его длину: стрелка идёт на 24 вправо и на 7 вверх.
Умножь каждую координату саму на себя: 24 × 24 = 576 и 7 × 7 = 49.
Сложи два квадрата, получится 625, и найди число, которое при умножении на себя даёт 625: это 25.
Длина стрелки 25, чуть больше её 24 по горизонтали, поэтому вводишь 25.

Шаг за шагом

Вектор ⟨x, y⟩ — это стрелка: пройди x шагов в сторону и y шагов вверх. Его длина — это просто то, насколько ДЛИННАЯ эта стрелка, измеренная по прямой от начала до конца.

Поскольку шаг в сторону и шаг вверх образуют прямой угол, стрелка — это гипотенуза прямоугольного треугольника — значит, её длина равна √(x² + y²), теорема Пифагора. Для ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Они подобраны так, чтобы длина всегда выходила целым числом.)

Возведи каждую часть в квадрат, сложи, возьми квадратный корень и введи длину.

Советы и частые ошибки

Представь θ = 0°: стрелка лежит на оси x, значит, x — вся длина r. Раз cos 0° = 1, x идёт в паре с cos, а y — с sin.
Частая ошибка — сложить две координаты: длина ⟨12; 9⟩ не 21, ведь прямая стрелка срезает угол. Правильно так: 144 + 81 = 225, и √225 = 15.
Потренируй сложение векторов на полу: пройди 6 плиток, повернись под прямым углом, пройди 8, то есть ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Верёвка обратно к старту — 10 плиток.

Как играть

Векторы появляются в трёх видах: |⟨21; 20⟩| просит длину, 29; r=10, θ=120°, x=? ждёт −5, с клавишей минуса; ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ ждёт скалярное произведение, 39. Введи каждое целое число на клавиатуре раньше соперника, и Чили ударит тем сильнее, чем быстрее придёт твой ответ.

— Быстрые ответы —

Векторы: короткий FAQ

Что показывает скалярное произведение двух векторов?: Скалярное произведение одним числом показывает, насколько два вектора смотрят в одну сторону: это произведение их длин на косинус угла между ними. При угле меньше 90° оно положительное, при прямом угле равно 0, а при большем угле отрицательное. Для ⟨2; 6⟩ и ⟨3; −1⟩ оно равно 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, значит, векторы перпендикулярны. В игре каждая координата от 1 до 9, поэтому произведение всегда положительное.
Как перевести полярные координаты в декартовы?: Чтобы получить декартовы координаты, умножь длину r на cos θ для x и на sin θ для y. Полярные координаты задают точку расстоянием и углом, а декартовы — шагом вправо и шагом вверх. При r = 12 и θ = 30° получаем y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. Игра берёт чётные r и углы, у которых синус или косинус равен 0, ½ или 1, иногда со знаком минус, так что ответ всегда целый.
Есть ли приём, чтобы быстро найти длину вектора?: Самый быстрый приём — узнать пифагорову тройку за вектором: три целых числа, у которых сумма квадратов первых двух равна квадрату третьего. Игра строит все векторы всего из пяти троек, например 5, 12 и 13 или 8, 15 и 17, либо из их кратных. Так, ⟨16; 12⟩ — это ⟨4; 3⟩, взятый четыре раза, и его длина 4 × 5 = 20.
Почему у меня отрицательная координата x?: Отрицательный x — верный ответ, когда угол больше 90°, потому что стрелка тогда смотрит левее начальной точки. Раз cos 120° = −½, при r = 8 и θ = 120° выходит x = 8 × (−½) = −4, а при 180° x равен всей длине со знаком минус. Вводи его клавишей минуса. Здесь y никогда не бывает отрицательным, ведь ни один угол не больше 180°.
Эта математическая игра о векторах бесплатна и как использовать её на уроке?: Да, все три уровня с векторами бесплатны в любом браузере, и никому не нужно регистрироваться или что-то устанавливать. Для разминки спроси класс, сколько стрелок с целыми координатами имеют длину ровно 13. Ученики ищут их в парах, например ⟨5; 12⟩ и ⟨−13; 0⟩, пока не найдут все 12; если начертить их из одной точки, концы лягут на окружность. С тарифом для школ учитель платит за каждого ученика и видит на панели, кто делает успехи.

Больше математики для освоения

Готов сразиться?

Играть бесплатно ▸