Что такое система линейных уравнений?

Система линейных уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Само по себе x + y = 12 имеет бесконечно много решений: 5 и 7, 9 и 3 и многие другие. Добавь x − y = 2, и обоим подходит только пара x = 7, y = 5. На графике эта пара — точка пересечения двух прямых.

Как решить систему уравнений методом сложения?

В методе сложения ты добиваешься, чтобы одна неизвестная сократилась, и находишь другую. В системе 3x + 2y = 16 и x − y = 2 слагаемые с y пока не сокращаются. Умножь второе уравнение на 2, получится 2x − 2y = 4, и сложи оба: 5x = 20, значит, x = 4. Подставив 4 в x − y = 2, получаешь y = 2.

Как запомнить, какая разность стоит сверху в угловом коэффициенте?

Проверь формулу на прямой, которую уже знаешь. Прямая y = 2x проходит через (0; 0) и (1; 2), то есть поднимается на 2 на каждую единицу вправо, и её угловой коэффициент должен быть 2. Это получается только при делении 2 на 1, но не 1 на 2: разность значений y всегда сверху, а разность значений x — снизу.

Почему ребёнок думает, что отрицательный наклон менее крутой?

Многие ученики считают наклон −4 более пологим, чем 2, ведь −4 — меньшее число. Но крутизна зависит от модуля углового коэффициента, без учёта знака: при −4 прямая опускается на 4 на каждый шаг вправо, а при 2 поднимается только на 2. Сравнивай модули, чтобы судить о крутизне, а знак используй лишь для того, чтобы понять, поднимается прямая или опускается.

Может ли учитель бесплатно использовать эту игру про линейную функцию на уроке?

Да, может: оба уровня бесплатны и работают в браузере, который уже есть на школьных устройствах, без регистрации и скачивания. Чтобы потренировать угловой коэффициент у доски, начерти сетку, отметь (0; 1) и попроси учеников назвать точки, у которых угловой коэффициент от этой точки равен 2. Ответы вроде (2; 5) или (−1; −1) все ложатся на одну прямую. С тарифом для школ, с оплатой за ученика, панель учителя покажет, кто увереннее работает с наклоном.

Тренировка математики · переосмысленная

Игра с линейной функцией

В этом поединке с линейной функцией угловой коэффициент по двум точкам всегда целое число от −4 до 4, но не 0, а каждая система сводит вместе x + y и x − y. Соперник получает те же точки: прочитай прямую быстрее, и твой боец ударит первым.

Возраст 4–99+ · без скачивания · играй в браузере · 23 языков

Выбери свой уровень ▸

Что такое линейная функция?

Линейная функция — это правило, по которому y меняется на одну и ту же величину каждый раз, когда x увеличивается на 1, поэтому её график — прямая. Её записывают как y = kx + b: k — угловой коэффициент, то есть крутизна прямой, а b показывает, где прямая пересекает ось y. Свеча высотой 20 см, сгорающая на 2 см в час, подчиняется правилу y = 20 − 2x.

Все уровни: Linear functions

Пример: x + y = 17 и x − y = 9

Игра показывает сразу два уравнения и спрашивает только x: x + y = 17 и x − y = 9.
Сложи два уравнения: +y и −y взаимно уничтожаются, слева остаётся 2x, а справа 17 + 9 = 26.
Если 2x = 26, то x — половина от 26, то есть x = 13.
Проверь с y = 17 − 13 = 4: раз 13 − 4 = 9, оба уравнения верны, и ты вводишь 13.

Шаг за шагом

Slope is how steep a line is, and it is measured as rise over run: how far the line climbs for every step it takes sideways.

Given two points, subtract the y-values to get the rise and the x-values to get the run, then divide. From (1; 2) to (4; 11): the rise is 11 − 2 = 9, the run is 4 − 1 = 3, so the slope is 3. The line goes up three for every one across.

Order matters only in that you must be consistent — start at the same point for both subtractions, or you will get the sign backwards.

A positive slope climbs to the right and a negative one falls. The number is a rate: on a distance-time graph it is speed, on a cost graph it is price per item.

Find the rise, find the run, divide, and type the slope.

Советы и частые ошибки

Смотри на знак перед y. При противоположных знаках, как у +y и −y, y исчезает, если сложить уравнения; при одинаковых — если вычесть одно из другого.
Частая ошибка — остановиться на 2x = 30 и ввести 30. Сумма уравнений даёт удвоенный x, так что перед ответом раздели пополам: x = 15.
Чтобы потренировать графики прямых дома, постройте вместе y = 2x + 1 на бумаге в клетку для x от 0 до 3. Каждая точка на 2 клетки выше предыдущей, и линейка соединяет их все.

Как играть

На уровне с наклоном появляются две точки, например «Наклон от (2; 5) до (4; 3)», и ты вводишь −1, нажимая минус для убывающих прямых. Второй уровень — игра с системами уравнений: при x + y = 22 и x − y = 8 вводишь только x, то есть 15. Ответь раньше соперника, и Гриб ударит, тем сильнее, чем быстрее ты был.

— Быстрые ответы —

Linear functions: короткий FAQ

Что такое система линейных уравнений?: Система линейных уравнений — это несколько уравнений с одними и теми же неизвестными, которые должны выполняться одновременно. Само по себе x + y = 12 имеет бесконечно много решений: 5 и 7, 9 и 3 и многие другие. Добавь x − y = 2, и обоим подходит только пара x = 7, y = 5. На графике эта пара — точка пересечения двух прямых.
Как решить систему уравнений методом сложения?: В методе сложения ты добиваешься, чтобы одна неизвестная сократилась, и находишь другую. В системе 3x + 2y = 16 и x − y = 2 слагаемые с y пока не сокращаются. Умножь второе уравнение на 2, получится 2x − 2y = 4, и сложи оба: 5x = 20, значит, x = 4. Подставив 4 в x − y = 2, получаешь y = 2.
Как запомнить, какая разность стоит сверху в угловом коэффициенте?: Проверь формулу на прямой, которую уже знаешь. Прямая y = 2x проходит через (0; 0) и (1; 2), то есть поднимается на 2 на каждую единицу вправо, и её угловой коэффициент должен быть 2. Это получается только при делении 2 на 1, но не 1 на 2: разность значений y всегда сверху, а разность значений x — снизу.
Почему ребёнок думает, что отрицательный наклон менее крутой?: Многие ученики считают наклон −4 более пологим, чем 2, ведь −4 — меньшее число. Но крутизна зависит от модуля углового коэффициента, без учёта знака: при −4 прямая опускается на 4 на каждый шаг вправо, а при 2 поднимается только на 2. Сравнивай модули, чтобы судить о крутизне, а знак используй лишь для того, чтобы понять, поднимается прямая или опускается.
Может ли учитель бесплатно использовать эту игру про линейную функцию на уроке?: Да, может: оба уровня бесплатны и работают в браузере, который уже есть на школьных устройствах, без регистрации и скачивания. Чтобы потренировать угловой коэффициент у доски, начерти сетку, отметь (0; 1) и попроси учеников назвать точки, у которых угловой коэффициент от этой точки равен 2. Ответы вроде (2; 5) или (−1; −1) все ложатся на одну прямую. С тарифом для школ, с оплатой за ученика, панель учителя покажет, кто увереннее работает с наклоном.

Больше математики для освоения

Готов сразиться?

Играть бесплатно ▸