Что такое геометрический ряд?

Геометрический ряд складывает члены, каждый из которых получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель q. В 3 + 6 + 12 + 24 знаменатель равен 2, а сумма — 45. При первом члене a, знаменателе q и n членах сумма равна a(qⁿ − 1)/(q − 1), здесь 3 × 15/1 = 45. Уровень с геометрическим рядом в этой игре использует простейший случай: 1 + 2 + 4 + ⋯, со знаменателем 2.

Как найти сумму арифметической прогрессии?

Сумму арифметической прогрессии находят по трём данным: первому члену, последнему и числу членов. Если последнего нет, построй его из разности d, постоянного шага между членами: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Для 4 + 7 + 10 + ⋯ из 10 членов последний равен 4 + 9 × 3 = 31, поэтому сумма — половина от 10 × 35, то есть 175.

Как запомнить ряд для eˣ?

Запомни его как совпадающие пары: каждая степень x стоит над факториалом того же числа. Итак, eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, где n! (читается «эн факториал») — это 1 × 2 × ⋯ × n. Поэтому член с x⁵ стоит над 5! = 120. Подставь x = 1, и члены сложатся в само число e, примерно 2,72.

Почему ученики ошибаются в числе членов прогрессии?

Многие ученики делят расстояние на шаг и забывают посчитать первый член. От 5 до 50 с шагом 3 получается 15 прыжков, ведь в 50 − 5 = 45 помещается 15 троек, но членов 16. Вспомни столбы забора: на 15 промежутков нужно 16 столбов. Поэтому в 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 членов, а сумма равна 440, а не 412,5.

Как начать урок о прогрессиях с этой игрой и бесплатна ли она?

Можно начать с гонки у доски, а игра ничего не стоит: каждый уровень открывается в браузере, без регистрации и скачивания. Для разминки на суммы арифметических прогрессий напиши 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ и пусть класс вслух называет каждую частичную сумму: 1; 4; 9; 16; 25. Когда ученики заметят квадраты, спроси сумму первых 30 нечётных чисел: 900. В тарифе для школ, с оплатой за ученика, панель показывает, кто продвигается в суммах.

Тренировка математики · переосмысленная

Игра с суммами прогрессий

В этом испытании с рядами и суммами ты складываешь до 40 членов арифметической прогрессии разом, а на вершине ждёт ряд для e^x, где x⁷ стоит над 5040. Складывать член за членом здесь слишком медленно: первая верная сумма отправляет твоего бойца в атаку.

Возраст 4–99+ · без скачивания · играй в браузере · 23 языков

Выбери свой уровень ▸

Что такое ряд в математике?

Ряд — это сумма последовательности: числа упорядоченного списка, которые называют членами, сложенные в одно число. Последовательность 3; 5; 7; 9 состоит из четырёх членов, а ряд 3 + 5 + 7 + 9 — это одно число, 24. Ряды бывают короткими, длинными и даже бесконечными, и часто формула даёт сумму без сложения каждого члена.

Все уровни: Series

Пример: 1 + 2 + 4 + ⋯, пять членов

Каждый член вдвое больше предыдущего, поэтому пять членов — это 1, 2, 4, 8 и 16.
Складывай по одному: 1 + 2 = 3, затем 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 и 15 + 16 = 31.
Проверь коротким путём для этой схемы: 2⁵ = 32, а сумма на единицу меньше, 31.
Сумма равна 31, поэтому ты вводишь 31 на клавиатуре.

Шаг за шагом

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Советы и частые ошибки

Чтобы сложить 1 + 2 + ⋯ + n, умножь n на следующее число и возьми половину: для 1 + 2 + ⋯ + 12 это 12 × 13 = 156, а половина — 78.
Частая ошибка — искать разность прогрессии. При a₁ = 15, aₙ = 44 и n = 6 она равна 5,8, но сумма — просто половина от 6 × 59, то есть 177.
Вдали от экрана вызови кого-нибудь на гонку: один складывает 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 член за членом, другой берёт половину от 10 × 22. У обоих должно выйти 110.

Как играть

На первом уровне каждый раунд показывает сумму, которую нужно найти, например «Сумма: a₁=13, aₙ=37, n=12» с первым членом, последним и их числом, и ты вводишь 300. Другой уровень работает как игра с геометрическими рядами в миниатюре: «1+2+4+⋯, 7 членов, сумма=?» ждёт 127. Опереди соперника с ответом, и Помидор бьёт; быстрая сумма превращается в тяжёлый удар.

— Быстрые ответы —

Series: короткий FAQ

Что такое геометрический ряд?: Геометрический ряд складывает члены, каждый из которых получается умножением предыдущего на одно и то же число — знаменатель q. В 3 + 6 + 12 + 24 знаменатель равен 2, а сумма — 45. При первом члене a, знаменателе q и n членах сумма равна a(qⁿ − 1)/(q − 1), здесь 3 × 15/1 = 45. Уровень с геометрическим рядом в этой игре использует простейший случай: 1 + 2 + 4 + ⋯, со знаменателем 2.
Как найти сумму арифметической прогрессии?: Сумму арифметической прогрессии находят по трём данным: первому члену, последнему и числу членов. Если последнего нет, построй его из разности d, постоянного шага между членами: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Для 4 + 7 + 10 + ⋯ из 10 членов последний равен 4 + 9 × 3 = 31, поэтому сумма — половина от 10 × 35, то есть 175.
Как запомнить ряд для eˣ?: Запомни его как совпадающие пары: каждая степень x стоит над факториалом того же числа. Итак, e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, где n! (читается «эн факториал») — это 1 × 2 × ⋯ × n. Поэтому член с x⁵ стоит над 5! = 120. Подставь x = 1, и члены сложатся в само число e, примерно 2,72.
Почему ученики ошибаются в числе членов прогрессии?: Многие ученики делят расстояние на шаг и забывают посчитать первый член. От 5 до 50 с шагом 3 получается 15 прыжков, ведь в 50 − 5 = 45 помещается 15 троек, но членов 16. Вспомни столбы забора: на 15 промежутков нужно 16 столбов. Поэтому в 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 16 членов, а сумма равна 440, а не 412,5.
Как начать урок о прогрессиях с этой игрой и бесплатна ли она?: Можно начать с гонки у доски, а игра ничего не стоит: каждый уровень открывается в браузере, без регистрации и скачивания. Для разминки на суммы арифметических прогрессий напиши 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ и пусть класс вслух называет каждую частичную сумму: 1; 4; 9; 16; 25. Когда ученики заметят квадраты, спроси сумму первых 30 нечётных чисел: 900. В тарифе для школ, с оплатой за ученика, панель показывает, кто продвигается в суммах.

Больше математики для освоения

Готов сразиться?

Играть бесплатно ▸