O que o produto escalar de dois vetores indica?

O produto escalar indica, em um só número, o quanto dois vetores estão alinhados: é o produto dos dois módulos pelo cosseno do ângulo entre eles. Ele é positivo quando o ângulo é menor que 90°, vale 0 no ângulo reto e fica negativo acima disso. Para ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩, dá 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, então eles são perpendiculares. No jogo, toda componente vai de 1 a 9, por isso o produto é sempre positivo.

Como converter coordenadas polares em retangulares?

Para achar as coordenadas retangulares, multiplique o comprimento r por cos θ para obter x e por sen θ para obter y. Coordenadas polares localizam um ponto por uma distância e um ângulo; as retangulares, por um avanço horizontal e outro vertical. Com r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sen 30° = 12 × ½ = 6. O jogo usa r par e ângulos cujo seno ou cosseno é 0, ½ ou 1, às vezes negativo, para o resultado sair inteiro.

Existe um truque para calcular rápido o módulo de um vetor?

O truque mais rápido é reconhecer o terno pitagórico por trás do vetor: três números inteiros em que os quadrados dos dois primeiros somam o quadrado do terceiro. O jogo monta todos os vetores com apenas cinco ternos, como 5, 12 e 13 ou 8, 15 e 17, ou com um múltiplo de um deles. Assim, ⟨16; 12⟩ é ⟨4; 3⟩ vezes quatro, e o módulo é 4 × 5 = 20.

Por que minha componente x dá negativa?

Um x negativo é a resposta certa sempre que o ângulo passa de 90°, porque aí a seta aponta para a esquerda do ponto de partida. Como cos 120° = −½, com r = 8 e θ = 120° você tem x = 8 × (−½) = −4, e em 180° o x é o comprimento inteiro com sinal de menos. Digite com a tecla de menos. Aqui o y nunca fica negativo, porque nenhum ângulo passa de 180°.

Este jogo de matemática com vetores é grátis, e como usar em sala de aula?

Sim, os três níveis de vetores são grátis em qualquer navegador, e ninguém precisa se cadastrar nem instalar nada. Para aquecer a turma, pergunte quantas setas com componentes inteiras medem exatamente 13. Em duplas, os alunos procuram, como ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, até achar todas as 12; desenhadas a partir do mesmo ponto, as pontas formam uma circunferência. Com o plano para escolas, o professor paga por aluno e vê num painel quem está melhorando.

Prática de matemática · reinventada

Jogo de vetores

Este jogo de matemática com vetores traz setas como pares, por exemplo ⟨24; 7⟩, ou como um comprimento e um ângulo, e toda resposta é um número inteiro, de −24 a 162. Chegue primeiro e seu lutador ataca enquanto o rival ainda está elevando ao quadrado e somando.

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O que é um vetor?

Um vetor é uma grandeza com tamanho, direção e sentido, desenhada como uma seta. Um vento de 20 km/h é só uma velocidade até você dizer que ele sopra para o norte; aí ele vira um vetor. Duas setas são o mesmo vetor quando têm o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido, não importa onde comecem.

Todos os níveis de Vetores

Exemplo: o módulo de ⟨24; 7⟩

As barras em volta de ⟨24; 7⟩ pedem o módulo, ou seja, o comprimento: a seta anda 24 na horizontal e sobe 7.
Multiplique cada componente por ela mesma: 24 × 24 = 576 e 7 × 7 = 49.
Some os dois quadrados, que dão 625, e procure o número que multiplicado por ele mesmo dá 625: é 25.
A seta mede 25, só um pouco mais que os 24 na horizontal, então você digita 25.

Aprenda passo a passo

Um vetor ⟨x, y⟩ é uma seta: ande x passos para o lado e y passos para cima. Sua magnitude é só o COMPRIMENTO dessa seta, medido em linha reta do início à ponta.

Como o passo lateral e o passo para cima fazem um ângulo reto, a seta é a hipotenusa de um triângulo retângulo — então seu comprimento é √(x² + y²), o teorema de Pitágoras. Para ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Estes são escolhidos para que o comprimento sempre dê um número inteiro.)

Eleve cada parte ao quadrado, some, tire a raiz quadrada, e digite o comprimento.

Dicas e erros comuns

Imagine θ = 0°: a seta fica deitada sobre o eixo x, então x é o comprimento inteiro, r. Como cos 0° = 1, o x anda com o cosseno e o y com o seno.
Um erro comum é somar as duas componentes: ⟨12; 9⟩ não mede 21, porque a seta reta corta caminho pela diagonal. O certo é 144 + 81 = 225, e √225 = 15.
Para praticar soma de vetores, ande 6 lajotas, vire em ângulo reto e ande mais 8: ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Um barbante esticado até o ponto de partida mede 10 lajotas.

Como jogar

Os vetores aparecem na tela de três formas: |⟨21; 20⟩| pede um módulo, 29; r=10, θ=120°, x=? pede −5, com a tecla de menos; e ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ pede um produto escalar, 39. Digite cada número inteiro no teclado antes do rival, e Pimenta ataca com mais força quanto antes o seu chegar.

— Respostas rápidas —

Vetores: o FAQ rapidinho

O que o produto escalar de dois vetores indica?: O produto escalar indica, em um só número, o quanto dois vetores estão alinhados: é o produto dos dois módulos pelo cosseno do ângulo entre eles. Ele é positivo quando o ângulo é menor que 90°, vale 0 no ângulo reto e fica negativo acima disso. Para ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩, dá 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, então eles são perpendiculares. No jogo, toda componente vai de 1 a 9, por isso o produto é sempre positivo.
Como converter coordenadas polares em retangulares?: Para achar as coordenadas retangulares, multiplique o comprimento r por cos θ para obter x e por sen θ para obter y. Coordenadas polares localizam um ponto por uma distância e um ângulo; as retangulares, por um avanço horizontal e outro vertical. Com r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sen 30° = 12 × ½ = 6. O jogo usa r par e ângulos cujo seno ou cosseno é 0, ½ ou 1, às vezes negativo, para o resultado sair inteiro.
Existe um truque para calcular rápido o módulo de um vetor?: O truque mais rápido é reconhecer o terno pitagórico por trás do vetor: três números inteiros em que os quadrados dos dois primeiros somam o quadrado do terceiro. O jogo monta todos os vetores com apenas cinco ternos, como 5, 12 e 13 ou 8, 15 e 17, ou com um múltiplo de um deles. Assim, ⟨16; 12⟩ é ⟨4; 3⟩ vezes quatro, e o módulo é 4 × 5 = 20.
Por que minha componente x dá negativa?: Um x negativo é a resposta certa sempre que o ângulo passa de 90°, porque aí a seta aponta para a esquerda do ponto de partida. Como cos 120° = −½, com r = 8 e θ = 120° você tem x = 8 × (−½) = −4, e em 180° o x é o comprimento inteiro com sinal de menos. Digite com a tecla de menos. Aqui o y nunca fica negativo, porque nenhum ângulo passa de 180°.
Este jogo de matemática com vetores é grátis, e como usar em sala de aula?: Sim, os três níveis de vetores são grátis em qualquer navegador, e ninguém precisa se cadastrar nem instalar nada. Para aquecer a turma, pergunte quantas setas com componentes inteiras medem exatamente 13. Em duplas, os alunos procuram, como ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, até achar todas as 12; desenhadas a partir do mesmo ponto, as pontas formam uma circunferência. Com o plano para escolas, o professor paga por aluno e vê num painel quem está melhorando.

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