Prática de matemática · reinventada
Jogo de soma de PA e PG
Neste desafio de somar PA e PG, você soma até 40 termos de uma progressão aritmética de uma vez só e chega à série de ex, em que x7 aparece dividido por 5040. Somar termo a termo é lento demais aqui: o primeiro total certo manda seu lutador ao ataque.
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O que é uma série em matemática?
Uma série é a soma de uma sequência: os números de uma lista ordenada, chamados termos, somados em um só total. A sequência 3; 5; 7; 9 tem quatro termos, mas a série 3 + 5 + 7 + 9 é um número só, 24. Existem séries curtas, longas e até infinitas, e muitas vezes uma fórmula dá o total sem somar termo por termo.
Exemplo: 1 + 2 + 4 + ⋯ com 5 termos
- Cada termo é o dobro do anterior, então os cinco termos são 1, 2, 4, 8 e 16.
- Some um por um: 1 + 2 = 3, depois 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 e 15 + 16 = 31.
- Confira com o atalho desse padrão: 25 = 32, e a soma é uma unidade menor, 31.
- A soma é 31, então você digita 31 no teclado.
Aprenda passo a passo
A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.
The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.
The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) ÷ 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.
Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.
Dicas e erros comuns
- Para somar 1 + 2 + ⋯ + n, multiplique n pelo número seguinte e pegue a metade: em 1 + 2 + ⋯ + 12, 12 × 13 = 156, e a metade é 78.
- Um erro comum é procurar a razão da PA. Com a₁ = 15, aₙ = 44 e n = 6, essa razão é 5,8, mas a soma é só a metade de 6 × 59: 177.
- Longe da tela, desafie alguém para uma corrida: um soma 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 termo a termo e o outro calcula a metade de 10 × 22. Os dois devem chegar a 110.
Como jogar
No primeiro nível, cada rodada mostra uma soma para completar, como “Soma: a₁=13, aₙ=37, n=12”, que dá o primeiro termo, o último e quantos são, então você digita 300. Outro nível funciona como um jogo de séries geométricas em miniatura: “1+2+4+⋯, 7 termos, soma=?” pede 127. Vença seu rival com o total e Tomate ataca; um total rápido vira um golpe forte.
— Respostas rápidas —
Series: o FAQ rapidinho
- O que é uma série geométrica?
- Uma série geométrica soma os termos de uma PG, ou progressão geométrica, em que cada termo é o anterior multiplicado por um mesmo número, a razão. Em 3 + 6 + 12 + 24 a razão é 2 e a soma é 45. Com primeiro termo a, razão q e n termos, a soma é a(qn − 1)/(q − 1), então aqui 3 × 15/1 = 45. O nível geométrico deste jogo usa o caso mais simples: 1 + 2 + 4 + ⋯, com razão 2.
- Como calcular a soma dos termos de uma PA?
- A soma dos termos de uma PA, ou progressão aritmética, sai de três dados: o primeiro termo, o último e quantos termos há. Se faltar o último, monte-o com a razão r, o salto fixo entre termos: aₙ = a₁ + (n − 1)r. Em 4 + 7 + 10 + ⋯ com 10 termos, o último é 4 + 9 × 3 = 31, então a soma é a metade de 10 × 35: 175.
- Como memorizar a série de eˣ?
- Memorize como pares que combinam: cada potência de x fica sobre o fatorial do mesmo número. Assim, ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ⋯, em que n!, lido “n fatorial”, é 1 × 2 × ⋯ × n. Por isso o termo em x5 fica sobre 5! = 120. Com x = 1, os termos somam o próprio número e, cerca de 2,72.
- Por que os alunos erram o número de termos de uma PA?
- Muitos alunos dividem a distância pelo salto e esquecem de contar o primeiro termo. De 5 a 50, de 3 em 3, há 15 saltos, porque 50 − 5 = 45 contém 15 vezes o 3, mas há 16 termos. Pense nos postes de uma cerca: 15 vãos precisam de 16 postes. Assim, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 tem 16 termos e soma 440, não 412,5.
- Como começar uma aula de PA com este jogo, e ele é grátis?
- Você pode começar com uma corrida na lousa, e o jogo não custa nada: cada nível abre no navegador, sem cadastro nem download. Para praticar a soma de PA, escreva 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ e peça à turma que diga em voz alta cada soma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Quando virem os quadrados, peça a soma dos 30 primeiros ímpares: 900. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel mostra quem evolui nas somas.