Jogo de limites

O que é limite em cálculo?

Um limite é o valor do qual uma função se aproxima quando x chega cada vez mais perto de um número. Escrever lim x→3 significa “quando x tende a 3”, e a função nem precisa ter valor em 3. Ande em direção a uma porta, cobrindo a cada passo metade do que falta: você chega tão perto quanto quiser, e a porta é o seu limite.

Exemplo: o limite de (x² − 11x + 28) / (x − 7) quando x → 7

1. Substitua x = 7 primeiro: o numerador dá 49 − 77 + 28 = 0 e o denominador, 7 − 7 = 0, então você obtém 0/0, uma indeterminação que ainda não dá o limite.
2. Procure dois números cujo produto seja 28 e a soma seja 11: são 7 e 4, então o numerador se fatora como (x − 7)(x − 4).
3. Cancele o fator (x − 7), que aparece em cima e embaixo, e sobra só x − 4.
4. Agora substitua 7 em x − 4 para obter 3: o limite é 3, então você digita 3.

Dicas e erros comuns

• Siga sempre a mesma ordem: primeiro substitua, e se der um número, pronto. Se der 0/0, fatore e cancele. Se x → ∞, compare só as maiores potências.
• Um erro comum é cortar os x de (x² − 25) / (x − 5) um por um. Só fatores inteiros se cancelam: antes, reescreva o numerador como (x − 5)(x + 5).
• Em casa, uma calculadora deixa o limite visível: teste x = 3,9; 3,99 e 3,999 em (x² − 16) / (x − 4). Os resultados, 7,9; 7,99 e 7,999, chegam cada vez mais perto de 8.

— Respostas rápidas —

Limite: o FAQ rapidinho

O que significa x → ∞ em um limite?

Significa que x cresce sem parar e passa de qualquer número que você consiga dizer, então ∞ é uma direção, não um valor para substituir. O limite pergunta de qual valor a função se aproxima no caminho. Quando x cresce, 1/x se aproxima de 0. Já 12x dividido por 4x vale 3 para qualquer x diferente de 0, então o seu limite no infinito é 3.

Como resolver um limite com diferença de cubos?

Fatore o numerador com a identidade a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Em (x³ − 64) / (x − 4) quando x → 4, isso dá (x − 4)(x² + 4x + 16). Cancele o (x − 4) e substitua: 16 + 16 + 16 = 48. Para esse formato existe uma verificação rápida: o triplo do quadrado do número para o qual x tende, 3 × 4² = 48.

Com que idade se aprende limite?

Em muitos sistemas escolares, os alunos estudam limites por volta dos 16 a 18 anos, no fim da escola, e voltam a eles no primeiro curso de cálculo da faculdade. As aulas costumam seguir a ordem destes níveis: primeiro substituir, depois resolver indeterminações 0/0 e, por fim, limites no infinito. Aqui os níveis são pensados para 18 anos.

Por que meu limite dá errado depois de cancelar?

Quase sempre o cancelamento está certo e falta o último passo: o que sobra ainda precisa ser calculado no ponto. Em (x² − 13x + 36) / (x − 9) quando x → 9, o numerador é (x − 9)(x − 4). Cancelando, sobra x − 4, então o limite é 9 − 4 = 5. Digitar 4, o número que fica dentro do parêntese, é o erro clássico.

Este jogo sobre limites é grátis, e como uma turma de cálculo pode usá-lo?

Sim, os três níveis são grátis para a turma e abrem em qualquer aba do navegador, sem contas nem instalação. Para praticar limites de cálculo, escreva na lousa (x² − 9) / (x − 3), (x³ − 27) / (x − 3) e (x² − 5x + 6) / (x − 3). As três dão 0/0 em x = 3, mas os grupos que as fatoram encontram limites de 6, 27 e 1. Com o plano para escolas, cobrado por aluno, um painel do professor mostra quem está resolvendo limites cada vez mais rápido.