O que significa d/dx?

d/dx significa “derivada em relação a x”: é uma ordem para descobrir com que rapidez o que vem depois muda quando x muda. Assim, d/dx [x³] = 3x², que se lê “a derivada de x ao cubo é três x ao quadrado”. O d indica uma diferença minúscula, por isso d/dx lembra uma inclinação: uma variação de altura dividida por uma variação de x.

Como derivar um polinômio?

Um polinômio é derivado termo a termo, aplicando a regra da potência a cada um. Em 3x² + 4x + 6, o 3x² vira 6x, o 4x vira 4 e o 6 desaparece, porque uma constante nunca muda. Então a derivada é 6x + 4, e o valor dela em x = 2 é 6 × 2 + 4 = 16.

Como lembrar a regra do produto?

Lembre a regra do produto como um revezamento: derive o primeiro fator enquanto o segundo espera, depois o segundo enquanto o primeiro espera, e some os dois resultados. Em símbolos, (fg)′ = f′g + fg′. Teste com x² · x³: dá 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, exatamente o que sai ao derivar x⁵ diretamente.

Por que eu sempre erro a regra da cadeia?

Quase todos os erros na regra da cadeia vêm de esquecer o que está dentro dos parênteses. Em (2x + 7)⁵, descer o 5 dá 5(2x + 7)⁴, mas o interior, 2x + 7, também muda com x, a uma taxa de 2. Multiplique também por esse 2, e a derivada é 10(2x + 7)⁴. Deixar de fora essa taxa interna é o deslize clássico.

Um professor de cálculo pode usar este jogo com derivadas de graça?

Pode, e sem pagar nada: os seis níveis rodam no navegador de qualquer notebook ou tablet da escola, sem contas nem downloads. Para começar a praticar derivadas em aula, desenhe y = x² na lousa e peça aos grupos a inclinação entre x = 3 e x = 4, depois até 3,5 e depois até 3,1. Eles obtêm 7, depois 6,5 e depois 6,1, cada vez mais perto de 6, a derivada em 3. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel do professor mostra quem está melhorando.

Prática de matemática · reinventada

Jogo de derivadas

Este jogo com derivadas vai da regra da potência em x = 2 até as derivadas parciais, e cada resposta é um número inteiro de 2 a 200, nunca uma fórmula. Derive mais rápido que seu rival, e seu lutador ataca enquanto o outro ainda está baixando expoentes.

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O que é uma derivada?

A derivada é a rapidez com que uma função muda em um ponto exato, e, no gráfico, é a inclinação da curva nesse ponto. Ela é escrita f′(x) ou d/dx. Pense em um velocímetro: enquanto o carro anda, a distância percorrida aumenta, e o ponteiro mostra a rapidez com que ela aumenta naquele instante.

Todos os níveis de Derivada

Exemplo: a derivada de 5x³ em x = 2

Desça o expoente 3 para a frente e multiplique-o pelo 5: isso dá 15.
Depois diminua o expoente em um, de 3 para 2, então a derivada é 15x².
Agora substitua x = 2: 2² é 4, e 15 × 4 = 60, então você digita 60.

Aprenda passo a passo

Uma derivada mede quão rápido algo está mudando — a inclinação da curva em um ponto.

A regra da potência: d/dx de axⁿ é (a·n)·xⁿ⁻¹ — multiplique pelo expoente, depois reduza o expoente em um. Então d/dx de 3x² é 6x; em x = 2 isso é 12.

Aplique a regra, substitua o ponto, e digite a inclinação.

Dicas e erros comuns

Na regra da potência, o expoente sempre cai exatamente um: x⁴ vira um termo em x³, x² vira um termo em x, e um x sozinho vira um número.
Um erro comum é substituir cedo demais. Coloque x = 2 em 4x³ primeiro e você obtém 32, uma constante cuja derivada é 0. Derive primeiro e substitua depois.
Com quem está aprendendo, desenhe y = x² no papel e encoste uma régua na curva em x = 1, 2 e 3. Ela fica mais inclinada a cada vez, como as inclinações 2, 4 e 6.

Como jogar

Uma rodada típica mostra d/dx [4x³] em x=2, e você digita o valor da derivada nesse ponto: 48. Nos níveis da regra da cadeia e do produto, você digita só o número da frente: a derivada de (3x + 1)⁵ é 15(3x + 1)⁴, então a resposta é 15. Acerte antes do seu rival e Brócolis ataca; quanto menos tempo você levar, mais forte o golpe.

— Respostas rápidas —

Derivada: o FAQ rapidinho

O que significa d/dx?: d/dx significa “derivada em relação a x”: é uma ordem para descobrir com que rapidez o que vem depois muda quando x muda. Assim, d/dx [x³] = 3x², que se lê “a derivada de x ao cubo é três x ao quadrado”. O d indica uma diferença minúscula, por isso d/dx lembra uma inclinação: uma variação de altura dividida por uma variação de x.
Como derivar um polinômio?: Um polinômio é derivado termo a termo, aplicando a regra da potência a cada um. Em 3x² + 4x + 6, o 3x² vira 6x, o 4x vira 4 e o 6 desaparece, porque uma constante nunca muda. Então a derivada é 6x + 4, e o valor dela em x = 2 é 6 × 2 + 4 = 16.
Como lembrar a regra do produto?: Lembre a regra do produto como um revezamento: derive o primeiro fator enquanto o segundo espera, depois o segundo enquanto o primeiro espera, e some os dois resultados. Em símbolos, (fg)′ = f′g + fg′. Teste com x² · x³: dá 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴, exatamente o que sai ao derivar x⁵ diretamente.
Por que eu sempre erro a regra da cadeia?: Quase todos os erros na regra da cadeia vêm de esquecer o que está dentro dos parênteses. Em (2x + 7)⁵, descer o 5 dá 5(2x + 7)⁴, mas o interior, 2x + 7, também muda com x, a uma taxa de 2. Multiplique também por esse 2, e a derivada é 10(2x + 7)⁴. Deixar de fora essa taxa interna é o deslize clássico.
Um professor de cálculo pode usar este jogo com derivadas de graça?: Pode, e sem pagar nada: os seis níveis rodam no navegador de qualquer notebook ou tablet da escola, sem contas nem downloads. Para começar a praticar derivadas em aula, desenhe y = x² na lousa e peça aos grupos a inclinação entre x = 3 e x = 4, depois até 3,5 e depois até 3,1. Eles obtêm 7, depois 6,5 e depois 6,1, cada vez mais perto de 6, a derivada em 3. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel do professor mostra quem está melhorando.

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