O que significa dx em uma integral?

Em uma integral, dx indica a variável ao longo da qual você soma e representa uma largura minúscula de x. Assim, ∫ 6x² dx se lê como uma soma de faixas com 6x² de altura e dx de largura. Deixe as faixas cada vez mais finas, e o total vira a área exata. Sem o dx, a integral não diria em que direção fatiar.

Como calcular uma integral definida?

Uma integral definida se calcula em três passos. Encontre uma primitiva, uma função cuja derivada é a que está dentro da integral. Calcule-a no limite superior e subtraia o valor dela no limite inferior. Para 2x de 1 a 3, a primitiva é x², então 9 − 1 = 8. Neste jogo o limite inferior é sempre 0, onde essas primitivas valem 0.

Como lembrar a regra da potência na integração?

Pense em meias e sapatos: você calça primeiro as meias, mas tira primeiro os sapatos. Derivar multiplica pelo expoente e depois o diminui em um, então integrar desfaz esses passos na ordem inversa: o expoente sobe um e depois você divide pelo novo expoente. Assim, 12x³ vira 3x⁴, e derivar 3x⁴ devolve 12x³.

Qual é o erro mais comum na integração por substituição?

O erro mais comum é esquecer o número que acompanha o x dentro dos parênteses. Em ∫(3x + 2)⁴ dx, subir o expoente dá (3x + 2)⁵ dividido por 5, mas os parênteses crescem 3 vezes mais rápido que x, então você também divide por 3. O denominador é 3 × 5 = 15, não 5. Derivando (3x + 2)⁵ / 15, você recupera exatamente (3x + 2)⁴.

Quanto custa levar este jogo de cálculo integral para a sala de aula?

Nada: os três níveis, das potências isoladas à substituição, abrem em uma aba do navegador nos notebooks ou tablets da escola, sem contas para os alunos. Para praticar integrais na lousa, peça aos grupos funções cuja área de 0 a 2 seja exatamente 8. A constante 4, a reta 4x e a curva 3x² funcionam, com três formas bem diferentes. Com o plano para escolas, cobrado por aluno, um painel do professor mostra quem está melhorando em integrais.

Prática de matemática · reinventada

Jogo de integrais

Neste jogo sobre integrais, toda área começa em x = 0 e termina em 2 ou em 3, e o nível de substituição pede só um denominador. Seu rival integra a mesma curva, então cada passo que você economiza faz o seu lutador atacar primeiro.

Dos 4 aos 99+ anos · sem download · roda no seu navegador · 23 idiomas

Escolha seu nível ▸

O que é uma integral?

Uma integral soma uma quantidade que não para de mudar. Para uma curva acima do eixo x, a integral definida dá a área embaixo dela entre dois valores de x, chamados de limites de integração. Imagine o gráfico da velocidade de um carro durante uma viagem: a área sob esse gráfico é a distância percorrida.

Todos os níveis de Integral

Exemplo: ∫(0→2) (3x² + 8x + 5) dx

Integre termo a termo: 3x² vira x³, 8x vira 4x², e o 5 sozinho vira 5x.
Substitua o limite superior, x = 2, em x³ + 4x² + 5x: dá 8 + 16 + 10 = 34.
No limite inferior, x = 0, todos os termos valem 0, então nada é subtraído e você digita 34.

Aprenda passo a passo

A integração é a derivação ao contrário — ela soma fatias minúsculas para encontrar a ÁREA sob uma curva.

A regra da potência se inverte: ∫axⁿ dx = a·xⁿ⁺¹/(n+1) — aumente o expoente em um, depois divida pelo novo expoente. Para ∫2x dx de 0 a 3: isso é x² avaliado em 3 → 9.

Integre, avalie no limite de cima (o de baixo é 0 aqui), e digite a área.

Dicas e erros comuns

Leia os símbolos como uma frase: ∫ é um S alongado, de “soma”, e dx é uma largura finíssima. Assim, ∫ 6x² dx quer dizer somar faixas finas de altura 6x².
Um erro comum é multiplicar pelo novo expoente em vez de dividir. 6x² se integra em 2x³, não 18x³; derive o resultado, e você deve voltar a 6x².
Em papel quadriculado, desenhe a reta y = x de 0 a 6 e conte os quadradinhos embaixo dela. O triângulo cobre 18, exatamente o que x²/2 prevê em 6.

Como jogar

Nos dois primeiros níveis, cada rodada mostra uma área para encontrar, como ∫(0→3) 8x³ dx, e você digita no teclado o número inteiro que ela vale: 162. O nível de substituição mostra ∫(2x+5)³ dx e quer só o denominador do resultado: 8. Responda antes do seu rival e Cenoura ataca, mais forte quanto antes você acertar.

— Respostas rápidas —

Integral: o FAQ rapidinho

O que significa dx em uma integral?: Em uma integral, dx indica a variável ao longo da qual você soma e representa uma largura minúscula de x. Assim, ∫ 6x² dx se lê como uma soma de faixas com 6x² de altura e dx de largura. Deixe as faixas cada vez mais finas, e o total vira a área exata. Sem o dx, a integral não diria em que direção fatiar.
Como calcular uma integral definida?: Uma integral definida se calcula em três passos. Encontre uma primitiva, uma função cuja derivada é a que está dentro da integral. Calcule-a no limite superior e subtraia o valor dela no limite inferior. Para 2x de 1 a 3, a primitiva é x², então 9 − 1 = 8. Neste jogo o limite inferior é sempre 0, onde essas primitivas valem 0.
Como lembrar a regra da potência na integração?: Pense em meias e sapatos: você calça primeiro as meias, mas tira primeiro os sapatos. Derivar multiplica pelo expoente e depois o diminui em um, então integrar desfaz esses passos na ordem inversa: o expoente sobe um e depois você divide pelo novo expoente. Assim, 12x³ vira 3x⁴, e derivar 3x⁴ devolve 12x³.
Qual é o erro mais comum na integração por substituição?: O erro mais comum é esquecer o número que acompanha o x dentro dos parênteses. Em ∫(3x + 2)⁴ dx, subir o expoente dá (3x + 2)⁵ dividido por 5, mas os parênteses crescem 3 vezes mais rápido que x, então você também divide por 3. O denominador é 3 × 5 = 15, não 5. Derivando (3x + 2)⁵ / 15, você recupera exatamente (3x + 2)⁴.
Quanto custa levar este jogo de cálculo integral para a sala de aula?: Nada: os três níveis, das potências isoladas à substituição, abrem em uma aba do navegador nos notebooks ou tablets da escola, sem contas para os alunos. Para praticar integrais na lousa, peça aos grupos funções cuja área de 0 a 2 seja exatamente 8. A constante 4, a reta 4x e a curva 3x² funcionam, com três formas bem diferentes. Com o plano para escolas, cobrado por aluno, um painel do professor mostra quem está melhorando em integrais.

Mais matemática para dominar

Pronto para o combate?

Jogar de graça ▸