Prática de matemática · reinventada
Jogo de determinantes
Neste desafio de determinantes 2×2, cada matriz traz quatro algarismos de 1 a 9, mas o resultado pode cair em qualquer ponto entre −80 e 80. Cruze as diagonais antes do seu rival, e o seu lutador transforma ad − bc em um soco.
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O que é um determinante?
Um determinante é um único número calculado a partir de uma matriz quadrada, ou seja, uma tabela com tantas linhas quanto colunas. Ele é escrito det A ou |A|. Numa matriz 2×2, ele indica quanto as áreas se esticam: um determinante 6 deixa cada figura seis vezes maior, um negativo ainda a espelha, e 0 a achata por completo.
Exemplo: o determinante de [ 3 5 ; 8 1 ]
- A matriz tem 3 e 5 na linha de cima, e 8 e 1 embaixo.
- Multiplique a diagonal principal, 3 × 1 = 3, e depois a outra diagonal, 5 × 8 = 40.
- Subtraia o segundo produto do primeiro: 3 − 40 = −37.
- O determinante é −37, então você o digita com o sinal de menos na frente.
Aprenda passo a passo
Uma matriz 2×2 é uma gradezinha de quatro números, dispostos em duas linhas: a b em cima, c d embaixo. Seu determinante é um único número que mede a grade, e há um padrão cruzado arrumado para encontrá-lo.
Multiplique a diagonal principal (superior-esquerda × inferior-direita = a × d), depois subtraia a outra diagonal (superior-direita × inferior-esquerda = b × c). Para [ 2 3 ; 1 4 ]: isso é (2 × 4) − (3 × 1) = 8 − 3 = 5. A resposta pode sair negativa — tudo bem, use a tecla −.
Multiplique cruzado as duas diagonais, subtraia, e digite o determinante.
Dicas e erros comuns
- Imagine a diagonal principal como uma ladeira que desce do canto superior esquerdo ao inferior direito. Primeiro o produto da descida, depois o da subida: assim sai sempre ad − bc.
- Um deslize comum é multiplicar pelas linhas em vez das diagonais. Em [ 2 7 ; 1 5 ], as linhas dão 14 − 5 = 9, mas as diagonais dão 10 − 7 = 3.
- Distribua quatro cartas com números numa grade 2×2 e disputem quem acha o determinante primeiro. Depois troquem as duas linhas: o número continua o mesmo, mas muda de sinal.
Como jogar
Cada rodada mostra uma matriz 2×2 com algarismos de 1 a 9, como det [ 8 9 ; 8 1 ], e você digita o determinante, −64, com o sinal de menos incluído. O segundo nível pede uma linha vezes uma coluna: [2 4] · [2; 6] dá 28. Seu rival vê o mesmo problema; acerte primeiro e Vagem de Ervilha ataca, mais forte quanto mais cedo você responder.
— Respostas rápidas —
Determinante: o FAQ rapidinho
- O que significa um determinante igual a 0?
- Um determinante igual a 0 significa que a matriz achata o plano, e toda figura fica sem área nenhuma. Isso acontece quando uma linha é múltipla da outra. Em [ 2 3 ; 4 6 ], a linha de baixo é o dobro da de cima, e 2 × 6 − 3 × 4 = 0. Uma matriz assim não tem inversa, a matriz que desfaria o seu efeito.
- Como multiplicar matrizes?
- Para multiplicar matrizes, cada linha da primeira se encontra com cada coluna da segunda. Forme pares com os seus elementos, ou seja, os números de dentro, multiplique cada par e some os produtos: essa soma é um elemento do resultado. A linha [3 4] com a coluna [4; 2] dá 3 × 4 + 4 × 2 = 12 + 8 = 20. O segundo nível pede exatamente um desses elementos.
- Por que o meu determinante sai com o sinal trocado?
- Um sinal errado quase sempre quer dizer que os dois produtos foram subtraídos na ordem inversa. O produto do canto superior esquerdo ao inferior direito vem sempre primeiro. Em [ 4 9 ; 2 3 ], isso dá 12 − 18 = −6, um determinante negativo. Se você começar pela outra diagonal, obtém 6: o mesmo número com o sinal trocado.
- Com que idade se aprende determinantes?
- Em muitos sistemas escolares, os determinantes 2×2 chegam nos últimos anos do ensino médio, e em outros ficam para um primeiro curso universitário de álgebra linear. Aqui, os níveis com matrizes se destinam a quem tem 18 anos. Quem lida com facilidade com números negativos e com a tabuada já pode começar.
- Do que uma turma precisa para jogar com determinantes, e é grátis?
- Uma turma só precisa de um navegador em notebooks, tablets ou celulares, e este jogo de álgebra linear é grátis, sem contas nem instalações. Para praticar determinantes de matrizes, projete um mês do calendário no quadro e peça a cada aluno que marque um bloco diferente de 2×2 datas. Cada bloco dá −7, como mostra 3 × 11 − 4 × 10, e a turma pode provar o porquê com álgebra. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel do professor mostra quem está ficando mais rápido.
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