Qual a diferença entre arranjo e combinação?

A diferença está em saber se trocar dois elementos escolhidos gera um resultado novo. No arranjo, gera, como na senha de uma porta, em que 1-2-3 e 3-2-1 são senhas diferentes. Na combinação, não gera, como numa mão de cartas. Com 4 letras, ₄P₃ = 24, mas ₄C₃ = 4, porque cada grupo de 3 letras pode ficar em fila de 6 maneiras.

Como calcular combinação sem calculadora?

Conte as escolhas ordenadas e divida pelo número de maneiras de ordenar cada grupo. Para ₇C₃, há 7 × 6 × 5 = 210 escolhas ordenadas de três. Cada grupo de três pode ser ordenado de 3 × 2 × 1 = 6 maneiras, então ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35. Simplificar antes é mais rápido: o 6 de cima cancela com o 6 de baixo e sobra 7 × 5 = 35.

Existe um atalho para calcular combinações?

Existe: o triângulo de Pascal reúne todas as combinações. Comece com um 1 no topo e escreva cada número novo como a soma dos dois que estão acima dele. A linha 6, contando a do topo como linha 0, é 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1, então ₆C₃ = 20. A linha é simétrica, por isso ₆C₄ = ₆C₂ = 15: escolher 4 para ficar é o mesmo que escolher 2 para deixar de fora.

Por que os alunos confundem arranjo e combinação?

Os alunos confundem os dois porque as perguntas costumam soar parecidas e o enunciado nem sempre diz se a ordem conta. Um caso pequeno resolve a dúvida. Com A, B e C, os pares são AB, AC e BC, então ₃C₂ = 3. As escolhas ordenadas são esses três mais BA, CA e CB, então ₃P₂ = 6. Ver as duas listas lado a lado fixa a diferença.

Tem algum jeito gratuito de levar a análise combinatória para a sala de aula?

Tem: os três níveis, incluindo a mistura olímpica, abrem de graça em qualquer navegador, sem contas de aluno nem instalação. Para treinar contagem no quadro, chame 5 voluntários e pergunte quantas comissões de 3 eles poderiam formar. Depois pergunte de quantas maneiras poderiam dividir os cargos de presidente, secretário e tesoureiro. As respostas, 10 e 60, mostram que cada comissão se ordena de 6 maneiras. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel mostra ao professor quem está melhorando.

Prática de matemática · reinventada

Jogo de análise combinatória

Neste desafio de análise combinatória você nunca escolhe entre mais de 8 elementos, mas as respostas vão de 4 a 1680, o valor de ₈P₄ no nível olímpico. Resolva cada contagem antes do seu rival, e cada acerto vira um golpe do seu lutador.

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O que são arranjos e combinações?

Arranjos e combinações são dois jeitos de contar escolhas sem precisar escrever todas. Uma combinação é um grupo em que a ordem não importa: maçã e pera formam o mesmo par que pera e maçã. Um arranjo, que o jogo marca com P, é uma fila ordenada: comer primeiro a maçã e depois a pera não é o mesmo que o contrário.

Todos os níveis de Análise combinatória

Exemplo: quantos pares dá para formar com 6?

O símbolo ₆C₂ pergunta quantos pares diferentes você pode escolher entre 6 objetos quando a ordem não importa.
Escolhendo em ordem, você tem 6 opções para o primeiro e 5 para o segundo: 6 × 5 = 30 escolhas ordenadas.
Cada par foi contado duas vezes, como A depois B e como B depois A, então você pega a metade de 30 e digita 15.

Aprenda passo a passo

nCk conta de quantas formas ESCOLHER k coisas de n quando a ordem não importa — como montar um time, onde quem é nomeado primeiro não faz diferença.

5C2 ("escolher 2 de 5") = 10. A fórmula é n! ÷ (k! × (n−k)!), mas a ideia é simplesmente: quantos grupos diferentes você pode formar?

Digite o número de grupos possíveis.

Dicas e erros comuns

Em ₆P₃, o 3 pequeno diz quantos números multiplicar, descendo a partir de 6: 6 × 5 × 4 = 120. Pare aí, não vá até o 1.
Um erro comum é contar as duas ordens numa combinação. Em ₄C₂, anotar AB e BA separados dá 12; risque as repetições e sobram 6 pares.
Num almoço em família, pergunte quantos apertos de mão acontecem se cada pessoa cumprimentar todas as outras uma vez. Sete pessoas dão 21, ou seja, ₇C₂, e cada convidado novo soma mais.

Como jogar

Cada rodada mostra um símbolo como ₇C₃ ou ₄P₂: o número pequeno da esquerda diz quantos elementos existem, e o da direita quantos você escolhe. Digite o resultado no teclado e confira a letra antes, porque o nível olímpico mistura C e P. Só a primeira resposta certa vale, e Brócolis bate mais forte quanto mais cedo ela chega.

— Respostas rápidas —

Análise combinatória: o FAQ rapidinho

Qual a diferença entre arranjo e combinação?: A diferença está em saber se trocar dois elementos escolhidos gera um resultado novo. No arranjo, gera, como na senha de uma porta, em que 1-2-3 e 3-2-1 são senhas diferentes. Na combinação, não gera, como numa mão de cartas. Com 4 letras, ₄P₃ = 24, mas ₄C₃ = 4, porque cada grupo de 3 letras pode ficar em fila de 6 maneiras.
Como calcular combinação sem calculadora?: Conte as escolhas ordenadas e divida pelo número de maneiras de ordenar cada grupo. Para ₇C₃, há 7 × 6 × 5 = 210 escolhas ordenadas de três. Cada grupo de três pode ser ordenado de 3 × 2 × 1 = 6 maneiras, então ₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35. Simplificar antes é mais rápido: o 6 de cima cancela com o 6 de baixo e sobra 7 × 5 = 35.
Existe um atalho para calcular combinações?: Existe: o triângulo de Pascal reúne todas as combinações. Comece com um 1 no topo e escreva cada número novo como a soma dos dois que estão acima dele. A linha 6, contando a do topo como linha 0, é 1, 6, 15, 20, 15, 6 e 1, então ₆C₃ = 20. A linha é simétrica, por isso ₆C₄ = ₆C₂ = 15: escolher 4 para ficar é o mesmo que escolher 2 para deixar de fora.
Por que os alunos confundem arranjo e combinação?: Os alunos confundem os dois porque as perguntas costumam soar parecidas e o enunciado nem sempre diz se a ordem conta. Um caso pequeno resolve a dúvida. Com A, B e C, os pares são AB, AC e BC, então ₃C₂ = 3. As escolhas ordenadas são esses três mais BA, CA e CB, então ₃P₂ = 6. Ver as duas listas lado a lado fixa a diferença.
Tem algum jeito gratuito de levar a análise combinatória para a sala de aula?: Tem: os três níveis, incluindo a mistura olímpica, abrem de graça em qualquer navegador, sem contas de aluno nem instalação. Para treinar contagem no quadro, chame 5 voluntários e pergunte quantas comissões de 3 eles poderiam formar. Depois pergunte de quantas maneiras poderiam dividir os cargos de presidente, secretário e tesoureiro. As respostas, 10 e 60, mostram que cada comissão se ordena de 6 maneiras. Com o plano para escolas, com preço por aluno, um painel mostra ao professor quem está melhorando.

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