算数の練習 · 新発想
順列・組み合わせゲーム
この場合の数バトルでは、選ぶもとの個数は多くても8個なのに、答えは4から、オリンピックレベルの₈P₄の値である1680まで広がります。相手より先に数え上げれば、正解のたびにあなたのファイターの一撃になります。
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順列と組み合わせとは？
順列と組み合わせは、すべてを書き出さずに選び方の数を数える2つの方法です。組み合わせは順番を気にしないグループで、りんごとなしは、なしとりんごと同じ組です。順列は順番のある並びで、りんごを先に食べてからなしを食べるのと、その逆とは別のものとして数えます。
例：6個から2個を選ぶ組は何通り？
- ₆C₂は、順番を気にせずに6個から2個を選ぶ組が何通りあるかをたずねています。
- まず順番をつけて選ぶと、1個目は6通り、2個目は5通りなので、6 × 5 = 30通りです。
- どの組も「AのあとB」と「BのあとA」で2回数えたので、30の半分の15を入力します。
ステップごとに学ぼう
nCkは、順番が関係ないとき、n個からk個をどう選ぶか何通りあるかを数えます——チームを選ぶように、誰の名前が先かは関係ないのです。
5C2（「5から2つ選ぶ」）= 10。式は n! ÷ (k! × (n−k)!) だけど、考え方はシンプル：いくつ違うグループが作れる？
あり得るグループの数を入力しよう。
コツとよくあるまちがい
- ₆P₃の小さな3は、6から1ずつ減らしながらいくつの数をかけるかを表します。6 × 5 × 4 = 120で止め、1までかけないようにしましょう。
- よくあるまちがいは、組み合わせで2つの順番を両方数えることです。₄C₂でABとBAを別々に書くと12になりますが、重なりを消すと6組です。
- 家族の食事で、全員がほかの全員と1回ずつ握手したら何回になるかをたずねてみましょう。7人なら21回で、これが₇C₂です。人が増えるたびに回数も増えます。
バトルでの遊び方
毎ラウンド₇C₃や₄P₂のような記号が出て、左の小さな数は全体の個数、右の小さな数は選ぶ個数を表します。答えをキーパッドで入力しますが、オリンピックレベルではCとPがまざるので、先に文字を確かめましょう。最初の正解だけが当たり、早く答えるほどブロッコリーの攻撃は重くなります。
— サクッと回答 —
場合の数:かんたんFAQ
- 順列と組み合わせのちがいは？
- ちがいは、選んだ2つを入れかえたときに別の結果になるかどうかです。順列では別の結果になります。ドアの暗証番号なら、1-2-3と3-2-1は別の番号です。組み合わせでは同じ結果のままで、手札のトランプがその例です。4文字からなら₄P₃ = 24ですが₄C₃ = 4です。3文字の組はそれぞれ6通りに並べられるからです。
- 組み合わせの数は電卓なしでどう計算する？
- まず順番つきの選び方を数え、それを1つの組の並べ方の数で割ります。₇C₃なら、3個を順番つきで選ぶ方法は7 × 6 × 5 = 210通りです。3個の組は3 × 2 × 1 = 6通りに並べられるので、₇C₃ = 210 ÷ 6 = 35です。先に約分すると速く、上の6と下の6が消えて7 × 5 = 35が残ります。
- 組み合わせの数をすばやく求めるコツは？
- パスカルの三角形を使うのがコツで、そこにはすべての組み合わせの数が並んでいます。いちばん上に1を書き、新しい数はすぐ上の2つの数の和にします。いちばん上を0段目とすると6段目は1、6、15、20、15、6、1なので、₆C₃ = 20です。段は左右対称なので₆C₄ = ₆C₂ = 15で、残す4個を選ぶことは外す2個を選ぶことと同じです。
- 順列と組み合わせを混同してしまうのはなぜ？
- 2つの問題は言い回しが似ていることが多く、問題文が順番を区別するかどうかをいつもはっきり書かないからです。小さな例で確かめると区別できます。A、B、Cから2個選ぶ組はAB、AC、BCなので₃C₂ = 3です。順番つきなら、その3つにBA、CA、CBが加わって₃P₂ = 6です。2つのリストを並べて見ると、ちがいが身につきます。
- 場合の数を無料で授業に取り入れる方法はある？
- あります。オリンピックレベルのミックスもふくめて3つのレベルすべてがどのブラウザでも無料で開き、生徒のアカウントもインストールもいりません。黒板で数え上げの練習をするなら、5人に前に出てもらい、3人の委員会がいくつ作れるかをたずねます。次に、委員長・書記・会計の決め方が何通りあるかをたずねます。答えの10と60から、どの委員会にも6通りの並べ方があるとわかります。学校向けプランは生徒ごとの料金で、だれが伸びているかを先生がダッシュボードで確かめられます。