Que indica o produto escalar de dous vectores?

O produto escalar indica cun só número canto se aliñan dous vectores: é o produto dos seus dous módulos polo coseno do ángulo que forman. É positivo se forman menos de 90°, vale 0 se forman un ángulo recto e é negativo se se abren máis. Para ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩ vale 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, así que son perpendiculares. No xogo todas as compoñentes van do 1 ao 9, por iso o produto sempre sae positivo.

Como se pasan coordenadas polares a cartesianas?

Para pasar a cartesianas, multiplica a lonxitude r por cos θ para obter x e por sin θ para obter y. As coordenadas polares sitúan un punto cunha distancia e un ángulo; as cartesianas, cun avance horizontal e outro vertical. Con r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. O xogo usa r pares e ángulos cun seno ou coseno de 0, ½ ou 1, ás veces en negativo, así que o resultado sae enteiro.

Hai algún truco para calcular rápido o módulo dun vector?

O truco máis rápido é recoñecer a terna pitagórica que hai detrás do vector: tres números enteiros nos que os cadrados dos dous primeiros suman o cadrado do terceiro. Todos os vectores do xogo saen de só cinco ternas, como 5, 12 e 13 ou 8, 15 e 17, ou dun múltiplo dalgunha. Así, ⟨16; 12⟩ é ⟨4; 3⟩ catro veces, e o seu módulo é 4 × 5 = 20.

Por que me sae negativa a compoñente x?

Unha x negativa é a resposta correcta sempre que o ángulo pasa de 90°, porque entón a frecha apunta cara á esquerda da súa orixe. Como cos 120° = −½, con r = 8 e θ = 120° sae x = 8 × (−½) = −4, e a 180° a x é a lonxitude enteira co signo menos. Escríbea coa tecla do menos. Aquí a y nunca sae negativa, porque ningún ángulo pasa de 180°.

Este xogo de matemáticas con vectores é de balde, e como o uso na aula?

Si, os tres niveis de vectores son de balde en calquera navegador, e ninguén ten que rexistrarse nin instalar nada. Para arrincar a clase, pregunta cantas frechas con compoñentes enteiras miden exactamente 13. Por parellas búscanas, como ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, ata dar coas 12; debuxadas desde un mesmo punto, as súas puntas forman unha circunferencia. Co plan para escolas, o docente paga por alumno e ve nun panel quen mellora.

Práctica de mates · reinventada

Xogo de vectores

Este xogo de matemáticas con vectores dáche frechas como pares, por exemplo ⟨24; 7⟩, ou como unha lonxitude e un ángulo, e todas as respostas son enteiras, de −24 a 162. Chega primeiro e o teu loitador golpea mentres o teu rival aínda eleva ao cadrado e suma.

De 4 a 99+ anos · sen descargas · xoga no navegador · 23 idiomas

Escolle o teu nivel ▸

Que é un vector?

Un vector é unha cantidade con tamaño, dirección e sentido, que se debuxa como unha frecha. Un vento de 20 km/h é só unha velocidade ata que dis que sopra cara ao norte; entón é un vector. Dúas frechas son o mesmo vector se miden o mesmo e apuntan na mesma dirección e sentido, comecen onde comecen.

Todos os niveis de Vectores

Exemplo: o módulo de ⟨24; 7⟩

As barras arredor de ⟨24; 7⟩ piden o seu módulo, é dicir, a súa lonxitude: a frecha avanza 24 en horizontal e sobe 7.
Multiplica cada compoñente por si mesma: 24 × 24 = 576 e 7 × 7 = 49.
Suma os dous cadrados, que dan 625, e busca o número que multiplicado por si mesmo dá 625: é o 25.
A frecha mide 25, apenas máis ca os seus 24 en horizontal, así que escribes 25.

Apréndeo paso a paso

Un vector ⟨x, y⟩ é unha frecha: dá x pasos cara ao lado e y pasos cara arriba. O seu módulo é simplemente o LONGA que é esa frecha, medida en liña recta dende o inicio ata a punta.

Como o paso lateral e o paso cara arriba forman un ángulo recto, a frecha é a hipotenusa dun triángulo rectángulo, así que a súa lonxitude é √(x² + y²), o teorema de Pitágoras. Para ⟨3; 4⟩: √(9 + 16) = √25 = 5. (Estes están escollidos para que a lonxitude saia sempre un número enteiro.)

Eleva ao cadrado cada parte, suma, saca a raíz cadrada e escribe a lonxitude.

Consellos e erros habituais

Imaxina θ = 0°: a frecha queda deitada sobre o eixe x, así que x é toda a lonxitude r. Como cos 0° = 1, a x vai co coseno e a y co seno.
Un erro frecuente é sumar as dúas compoñentes: ⟨12; 9⟩ non mide 21, porque a frecha recta atalla pola diagonal. O correcto é 144 + 81 = 225, e √225 = 15.
Para practicar a suma de vectores, camiña 6 baldosas, xira en ángulo recto e camiña 8: ⟨6; 0⟩ + ⟨0; 8⟩ = ⟨6; 8⟩. Un cordel estendido ata a saída mide 10 baldosas.

Como se xoga

Os vectores chegan á pantalla de tres xeitos: |⟨21; 20⟩| pide un módulo, 29; r=10, θ=120°, x=? pide −5, coa tecla do menos; e ⟨7; 2⟩ · ⟨3; 9⟩ pide un produto escalar, 39. Escribe cada número enteiro no teclado antes ca o teu rival, e Guindilla golpea máis forte canto antes chegue o teu.

— Respostas rápidas —

Vectores: as preguntas rápidas

Que indica o produto escalar de dous vectores?: O produto escalar indica cun só número canto se aliñan dous vectores: é o produto dos seus dous módulos polo coseno do ángulo que forman. É positivo se forman menos de 90°, vale 0 se forman un ángulo recto e é negativo se se abren máis. Para ⟨2; 6⟩ e ⟨3; −1⟩ vale 2 × 3 + 6 × (−1) = 0, así que son perpendiculares. No xogo todas as compoñentes van do 1 ao 9, por iso o produto sempre sae positivo.
Como se pasan coordenadas polares a cartesianas?: Para pasar a cartesianas, multiplica a lonxitude r por cos θ para obter x e por sin θ para obter y. As coordenadas polares sitúan un punto cunha distancia e un ángulo; as cartesianas, cun avance horizontal e outro vertical. Con r = 12 e θ = 30°, y = 12 × sin 30° = 12 × ½ = 6. O xogo usa r pares e ángulos cun seno ou coseno de 0, ½ ou 1, ás veces en negativo, así que o resultado sae enteiro.
Hai algún truco para calcular rápido o módulo dun vector?: O truco máis rápido é recoñecer a terna pitagórica que hai detrás do vector: tres números enteiros nos que os cadrados dos dous primeiros suman o cadrado do terceiro. Todos os vectores do xogo saen de só cinco ternas, como 5, 12 e 13 ou 8, 15 e 17, ou dun múltiplo dalgunha. Así, ⟨16; 12⟩ é ⟨4; 3⟩ catro veces, e o seu módulo é 4 × 5 = 20.
Por que me sae negativa a compoñente x?: Unha x negativa é a resposta correcta sempre que o ángulo pasa de 90°, porque entón a frecha apunta cara á esquerda da súa orixe. Como cos 120° = −½, con r = 8 e θ = 120° sae x = 8 × (−½) = −4, e a 180° a x é a lonxitude enteira co signo menos. Escríbea coa tecla do menos. Aquí a y nunca sae negativa, porque ningún ángulo pasa de 180°.
Este xogo de matemáticas con vectores é de balde, e como o uso na aula?: Si, os tres niveis de vectores son de balde en calquera navegador, e ninguén ten que rexistrarse nin instalar nada. Para arrincar a clase, pregunta cantas frechas con compoñentes enteiras miden exactamente 13. Por parellas búscanas, como ⟨5; 12⟩ ou ⟨−13; 0⟩, ata dar coas 12; debuxadas desde un mesmo punto, as súas puntas forman unha circunferencia. Co plan para escolas, o docente paga por alumno e ve nun panel quen mellora.

Máis mates para dominar

Listo para repartir?

Xoga de balde ▸