Que é unha serie xeométrica?

Unha serie xeométrica suma termos que saen de multiplicar o anterior por un mesmo número, chamado razón. En 3 + 6 + 12 + 24 a razón é 2 e a suma é 45. Con primeiro termo a, razón r e n termos, a suma é a(rⁿ − 1)/(r − 1), así que aquí 3 × 15/1 = 45. O nivel xeométrico deste xogo usa o caso máis sinxelo: 1 + 2 + 4 + ⋯, con razón 2.

Como se calcula a suma dunha progresión aritmética?

A suma dunha progresión aritmética calcúlase con tres datos: o primeiro termo, o último e cantos termos hai. Se falta o último, constrúeo coa diferenza d, o salto fixo entre termos: aₙ = a₁ + (n − 1)d. En 4 + 7 + 10 + ⋯ con 10 termos, o último é 4 + 9 × 3 = 31, así que a suma é a metade de 10 × 35: 175.

Como se lembra a serie da función eˣ?

Lémbraa como parellas que encaixan: cada potencia de x vai sobre o factorial do mesmo número. Así, eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, onde n!, que se le «n factorial», é 1 × 2 × ⋯ × n. Por iso o termo en x⁵ vai sobre 5! = 120. Se pos x = 1, os termos suman o propio número e, uns 2,72.

Por que se contan mal os termos dunha progresión?

Moitos alumnos dividen a distancia entre o salto e esquecen contar o primeiro termo. De 5 a 50 de 3 en 3 hai 15 saltos, porque 50 − 5 = 45 contén 15 veces o 3, pero hai 16 termos. Pensa nos postes dun valado: 15 ocos precisan 16 postes. Así, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 ten 16 termos e suma 440, non 412,5.

Como comezar unha clase de progresións con este xogo, e é de balde?

Podes comezar cunha carreira no encerado, e o xogo non custa nada: cada nivel ábrese no navegador, sen rexistro nin descargas. Para practicar sumas de progresións aritméticas, escribe 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ e fai que a clase diga en voz alta cada suma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Cando vexan os cadrados, pide a suma dos 30 primeiros impares: 900. Co plan para escolas, con prezo por alumno, un panel amosa quen avanza coas sumas.

Práctica de mates · reinventada

Xogo de sumas de progresións

Este reto de sumar progresións faiche sumar ata 40 termos dunha progresión aritmética dunha vez e chega á serie da función e^x, onde x⁷ vai dividido entre 5040. Sumar termo a termo é lento de máis aquí: o primeiro total correcto manda o teu loitador ao ataque.

De 4 a 99+ anos · sen descargas · xoga no navegador · 23 idiomas

Escolle o teu nivel ▸

Que é unha serie en matemáticas?

Unha serie é a suma dunha sucesión: os números dunha lista ordenada, chamados termos, sumados nun só total. A sucesión 3; 5; 7; 9 ten catro termos, pero a serie 3 + 5 + 7 + 9 é un único número, 24. Hai series curtas, longas e mesmo infinitas, e a miúdo unha fórmula dá o total sen sumar cada termo.

Todos os niveis de Series

Exemplo: 1 + 2 + 4 + ⋯ con 5 termos

Cada termo duplica o anterior, así que os cinco termos son 1, 2, 4, 8 e 16.
Súmaos dun en un: 1 + 2 = 3, despois 3 + 4 = 7, 7 + 8 = 15 e 15 + 16 = 31.
Compróbao co atallo deste padrón: 2⁵ = 32, e a suma é un menos, 31.
A suma é 31, así que escribes 31 no teclado.

Apréndeo paso a paso

A series is what you get when you add a sequence up. Adding evenly-spaced numbers one at a time is slow, and there is a much better way.

The story goes that a schoolboy named Gauss was told to add 1 to 100 and answered almost at once. He had noticed that the numbers pair up from the outside in: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101. Fifty pairs, each worth 101, giving 5050.

The general rule is the same idea: S = n × (a₁ + aₙ) : 2. Read it as "how many terms, times the average of the first and the last", because in an evenly-spaced list the average really is just the midpoint of the two ends. This is an ARITHMETIC series — every term is the last one plus the same step — and here that step is often a fraction, which does not matter: the rule only needs the first term, the last term and how many there are.

Add the first and last term, multiply by the number of terms, halve it, and type the sum.

Consellos e erros habituais

Para sumar 1 + 2 + ⋯ + n, multiplica n polo número seguinte e colle a metade: en 1 + 2 + ⋯ + 12, 12 × 13 = 156, e a metade é 78.
Un erro frecuente é buscar a diferenza entre termos. Con a₁ = 15, aₙ = 44 e n = 6 esa diferenza é 5,8, pero a suma é só a metade de 6 × 59: 177.
Lonxe da pantalla, desafía a alguén a unha carreira: un suma 2 + 4 + 6 + ⋯ + 20 termo a termo e o outro calcula a metade de 10 × 22. Os dous deben chegar a 110.

Como se xoga

No primeiro nivel, cada rolda amosa unha suma por completar, como «Suma: a₁=13, aₙ=37, n=12», que dá o primeiro termo, o último e cantos hai, así que escribes 300. Outro nivel funciona como un xogo de series xeométricas en miniatura: «1+2+4+⋯, 7 termos, suma=?» pide 127. Gáñalle ao teu rival co total e Tomate ataca; un total rápido convértese nun golpe forte.

— Respostas rápidas —

Series: as preguntas rápidas

Que é unha serie xeométrica?: Unha serie xeométrica suma termos que saen de multiplicar o anterior por un mesmo número, chamado razón. En 3 + 6 + 12 + 24 a razón é 2 e a suma é 45. Con primeiro termo a, razón r e n termos, a suma é a(rⁿ − 1)/(r − 1), así que aquí 3 × 15/1 = 45. O nivel xeométrico deste xogo usa o caso máis sinxelo: 1 + 2 + 4 + ⋯, con razón 2.
Como se calcula a suma dunha progresión aritmética?: A suma dunha progresión aritmética calcúlase con tres datos: o primeiro termo, o último e cantos termos hai. Se falta o último, constrúeo coa diferenza d, o salto fixo entre termos: aₙ = a₁ + (n − 1)d. En 4 + 7 + 10 + ⋯ con 10 termos, o último é 4 + 9 × 3 = 31, así que a suma é a metade de 10 × 35: 175.
Como se lembra a serie da función eˣ?: Lémbraa como parellas que encaixan: cada potencia de x vai sobre o factorial do mesmo número. Así, e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ⋯, onde n!, que se le «n factorial», é 1 × 2 × ⋯ × n. Por iso o termo en x⁵ vai sobre 5! = 120. Se pos x = 1, os termos suman o propio número e, uns 2,72.
Por que se contan mal os termos dunha progresión?: Moitos alumnos dividen a distancia entre o salto e esquecen contar o primeiro termo. De 5 a 50 de 3 en 3 hai 15 saltos, porque 50 − 5 = 45 contén 15 veces o 3, pero hai 16 termos. Pensa nos postes dun valado: 15 ocos precisan 16 postes. Así, 5 + 8 + 11 + ⋯ + 50 ten 16 termos e suma 440, non 412,5.
Como comezar unha clase de progresións con este xogo, e é de balde?: Podes comezar cunha carreira no encerado, e o xogo non custa nada: cada nivel ábrese no navegador, sen rexistro nin descargas. Para practicar sumas de progresións aritméticas, escribe 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ e fai que a clase diga en voz alta cada suma parcial: 1; 4; 9; 16; 25. Cando vexan os cadrados, pide a suma dos 30 primeiros impares: 900. Co plan para escolas, con prezo por alumno, un panel amosa quen avanza coas sumas.

Máis mates para dominar

Listo para repartir?

Xoga de balde ▸